Słuchając nauczyciela matematyki, większość uczniów traktuje materiał jako aksjomat. Jednocześnie niewiele osób próbuje dotrzeć do sedna i dowiedzieć się, dlaczego „minus” na „plusie” daje znak „minus”, a po mnożeniu dwóch liczb ujemnych wychodzi dodatni.
Prawa matematyki
Większość dorosłych nie jest w stanie wyjaśnić sobie ani swoim dzieciom, dlaczego tak się dzieje. W szkole gruntownie przyswoili sobie ten materiał, ale nawet nie próbowali dowiedzieć się, skąd wzięły się takie zasady. Ale na próżno. Często współczesne dzieci nie są tak łatwowierne, muszą dotrzeć do sedna sprawy i zrozumieć na przykład, dlaczego „plus” na „minus” daje „minus”. A czasami chłopczycy celowo zadają podchwytliwe pytania, aby cieszyć się chwilą, w której dorośli nie mogą udzielić zrozumiałej odpowiedzi. I to naprawdę katastrofa, jeśli młody nauczyciel wpadnie w bałagan…
Nawiasem mówiąc, należy zauważyć, że wspomniana powyżej reguła dotyczy zarówno mnożenia, jak i dzielenia. Iloczyn liczby ujemnej i dodatniej da tylko minus. Jeśli mówimy o dwóch cyfrach ze znakiem „-”, wynik będzie liczbą dodatnią. To samo dotyczy podziału. Jeślijedna z liczb jest ujemna, wtedy iloraz będzie również ze znakiem „-”.
Aby wyjaśnić poprawność tego prawa matematyki, konieczne jest sformułowanie aksjomatów pierścienia. Ale najpierw musisz zrozumieć, co to jest. W matematyce zwyczajowo nazywa się pierścień zestawem, w którym zaangażowane są dwie operacje z dwoma elementami. Ale lepiej sobie z tym poradzić na przykładzie.
Aksjomat pierścienia
Istnieje kilka praw matematycznych.
- Pierwszy jest przemienny, według niego C + V=V + C.
- Druga nazywa się asocjacyjna (V + C) + D=V + (C + D).
Są również posłuszni mnożeniu (V x C) x D=V x (C x D).
Nikt nie anulował zasad otwierania nawiasów (V + C) x D=V x D + C x D, prawdą jest również, że C x (V + D)=C x V + C x D.
Ponadto ustalono, że do pierścienia można wprowadzić element specjalny, neutralny pod względem addycji, za pomocą którego będzie prawdziwe: C + 0=C. Dodatkowo dla każdego C istnieje przeciwny element, który można oznaczyć jako (-C). W tym przypadku C + (-C)=0.
Wyprowadzanie aksjomatów dla liczb ujemnych
Przyjmując powyższe stwierdzenia, możemy odpowiedzieć na pytanie: Jaki znak daje ""plus" na "minus"? Znając aksjomat o mnożeniu liczb ujemnych, trzeba potwierdzić, że rzeczywiście (-C) x V=-(C x V). A także, że prawdziwa jest następująca równość: (-(-C))=C.
Aby to zrobić, najpierw musimy udowodnić, że każdy z elementów ma tylko jedenprzeciwny brat. Rozważmy następujący przykład dowodu. Spróbujmy sobie wyobrazić, że dwie liczby są przeciwne dla C - V i D. Z tego wynika, że C + V=0 i C + D=0, czyli C + V=0=C + D. Pamiętając o prawach przesunięcia a jeśli chodzi o własności liczby 0, możemy rozważyć sumę wszystkich trzech liczb: C, V i D. Spróbujmy obliczyć wartość V. Logiczne jest, że V=V + 0=V + (C + D)=V + C + D, ponieważ wartość C + D, jak przyjęto powyżej, wynosi 0. Stąd V=V + C + D.
Wartość D jest wyprowadzana dokładnie w ten sam sposób: D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D. Na tej podstawie staje się jasne, że V=D.
Aby zrozumieć, dlaczego „plus” przy „minusie” daje „minus”, musisz zrozumieć, co następuje. Tak więc dla elementu (-C) przeciwieństwem są C i (-(-C)), czyli są sobie równe.
W takim razie jest oczywiste, że 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V. Wynika z tego, że C x V jest przeciwieństwem (-)C x V, więc (-C) x V=-(C x V).
Dla pełnego rygoru matematycznego konieczne jest również potwierdzenie, że 0 x V=0 dla dowolnego elementu. Jeśli postępujesz zgodnie z logiką, to 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Oznacza to, że dodanie produktu 0 x V w żaden sposób nie zmienia ustawionej kwoty. W końcu ten produkt jest równy zero.
Znając wszystkie te aksjomaty, możesz wywnioskować nie tylko, ile daje "plus" przez "minus", ale także co się dzieje, gdy mnożysz liczby ujemne.
Mnożenie i dzielenie dwóch liczb ze znakiem "-"
Jeśli nie zagłębiasz się w matematykęniuansów, możesz spróbować wyjaśnić zasady działania na liczbach ujemnych w prostszy sposób.
Załóżmy, że C - (-V)=D, więc C=D + (-V), tj. C=D - V. Przenieś V i uzyskaj C + V=D. To znaczy C + V=C - (-V). Ten przykład wyjaśnia, dlaczego w wyrażeniu, w którym są dwa „minus” z rzędu, wspomniane znaki należy zmienić na „plus”. Zajmijmy się teraz mnożeniem.
(-C) x (-V)=D, możesz dodać i odjąć dwa identyczne iloczyny do wyrażenia, które nie zmienią jego wartości: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V)=D.
Pamiętając zasady pracy z nawiasami, otrzymujemy:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
Z tego wynika, że C x V=(-C) x (-V).
Podobnie możemy udowodnić, że dzielenie dwóch liczb ujemnych da w wyniku jedną dodatnią.
Ogólne zasady matematyczne
Oczywiście to wyjaśnienie nie jest odpowiednie dla uczniów szkół podstawowych, którzy dopiero zaczynają uczyć się abstrakcyjnych liczb ujemnych. Lepiej dla nich jest wyjaśniać na widocznych przedmiotach, manipulując znanym terminem przez lustro. Na przykład znajdują się tam wymyślone, ale nie istniejące zabawki. Mogą być wyświetlane ze znakiem „-”. Mnożenie dwóch zwierciadeł przenosi je do innego świata, utożsamianego z teraźniejszością, czyli w efekcie mamy liczby dodatnie. Ale pomnożenie abstrakcyjnej liczby ujemnej przez dodatnią daje tylko wynik znany wszystkim. Ponieważ „plus”pomnożenie przez „minus” daje „minus”. To prawda, że w wieku szkolnym dzieci tak naprawdę nie próbują zagłębiać się we wszystkie matematyczne niuanse.
Chociaż, jeśli spojrzeć prawdzie w oczy, dla wielu ludzi, nawet z wyższym wykształceniem, wiele zasad pozostaje tajemnicą. Wszyscy przyjmują za pewnik to, czego uczą ich nauczyciele, nie tracąc możliwości zagłębienia się we wszystkie zawiłości, którymi najeżona jest matematyka. "Minus" na "minus" daje "plus" - wszyscy o tym wiedzą bez wyjątku. Dotyczy to zarówno liczb całkowitych, jak i ułamkowych.
