Szerokiemu zakresowi relacji na przykładzie zbiorów towarzyszy duża liczba pojęć, począwszy od ich definicji, a skończywszy na analitycznej analizie paradoksów. Różnorodność koncepcji omawianych w artykule na planie jest nieskończona. Chociaż, mówiąc o typach podwójnych, oznacza to relacje binarne między kilkoma wartościami. A także między obiektami lub oświadczeniami.
Z reguły relacje binarne oznacza się symbolem R, to znaczy, jeśli xRx dla dowolnej wartości x z pola R, taką właściwość nazywamy refleksyjną, w której x i x są akceptowanymi przedmiotami myśli, a R służy jako znak tego, czy lub innej formy relacji między jednostkami. Jednocześnie, jeśli wyrażasz xRy® lub yRx, oznacza to stan symetrii, gdzie ® jest znakiem implikacji podobnym do związku „jeśli … wtedy …”. I wreszcie dekodowanie napis (xRy Ùy Rz) ®xRz mówi o relacji przechodniej, a znak Ù jest koniunkcją.
Relacja binarna, która jest zarówno zwrotna, symetryczna, jak i przechodnia, nazywana jest relacją równoważności. Relacja f jest funkcją, a równość y=z wynika z Î f i Î f. Prostą funkcję binarną można łatwo zastosowaćdo dwóch prostych argumentów w określonej kolejności i tylko w tym przypadku nadaje im znaczenie skierowane do tych dwóch wyrażeń wziętych w konkretnym przypadku.
Należy powiedzieć, że f odwzorowuje x na y,
jeśli f jest funkcją z zakresem x i zakresem y. Jednakże, gdy f ekstrapoluje x na y, a y Í z, to powoduje, że f pokazuje x w z. Prosty przykład: jeśli f(x)=2x jest prawdziwe dla dowolnej liczby całkowitej x, to mówi się, że f odwzorowuje zbiór wszystkich znanych liczb całkowitych ze znakiem na zbiór tych samych liczb całkowitych, ale tym razem parzystych. Jak wspomniano powyżej, relacje binarne, które są zarówno zwrotne, symetryczne, jak i przechodnie, są relacjami równoważności.
Na podstawie powyższego, relacje równoważności relacji binarnych są określane przez właściwości:
- refleksyjność - stosunek (M ~ N);
- symetrie - jeśli równość wynosi M ~ N, to będzie N ~ M;
- przechodniość - jeśli dwie równości M ~ N i N ~ P, to w wyniku M ~ P.
Rozważmy bardziej szczegółowo deklarowane właściwości relacji binarnych. Refleksyjność jest jedną z cech pewnych połączeń, w których każdy element badanego zbioru jest sobie równy. Na przykład między liczbami a=c i a³ c występują związki zwrotne, gdyż zawsze a=a, c=c, a³ a, c³ c. Jednocześnie relacja nierówności a>c jest antyrefleksyjna ze względu na niemożliwość istnienia nierówności a>a. Aksjomat tej własności jest zakodowany znakami: aRc®aRa Ù cRc, tutaj symbol ® oznacza słowo „zaangażuje” (lub „zaangażuje”), a znak Ù - jest unią „i” (lub spójnikiem). Z tego stwierdzenia wynika, że jeśli osąd aRc jest prawdziwy, to wyrażenia aRa i cRc również są prawdziwe.
Symetria pociąga za sobą obecność związku, nawet jeśli obiekty mentalne są wymieniane, to znaczy w przypadku symetrycznego związku, przegrupowanie obiektów nie prowadzi do przekształcenia typu „relacje binarne”. Na przykład relacja równości a=c jest symetryczna z powodu równoważności relacji c=a; Zdanie a¹c też jest takie samo, gdyż odpowiada powiązaniu z ¹a.
Zbiór przechodni to właściwość, która spełnia warunek: y н x, z н y ® z н x, gdzie ® jest znakiem zastępującym słowa: „jeśli …, to …”. Formuła jest werbalnie czytana w następujący sposób: "Jeśli y zależy od x, z należy do y, to z również zależy od x".
