Planimetria to gałąź geometrii, która bada właściwości figur płaskich. Należą do nich nie tylko dobrze znane trójkąty, kwadraty, prostokąty, ale także proste i kąty. W planimetrii istnieją również takie pojęcia, jak kąty w kole: centralny i wpisany. Ale co one oznaczają?
Jaki jest kąt środkowy?
Aby zrozumieć, czym jest kąt środkowy, musisz zdefiniować okrąg. Okrąg to zbiór wszystkich punktów równoodległych od danego punktu (środka okręgu).
Bardzo ważne jest odróżnienie go od koła. Należy pamiętać, że okrąg jest linią zamkniętą, a okrąg jest częścią ograniczonej nią płaszczyzny. W okrąg można wpisać wielokąt lub kąt.
Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek pokrywa się ze środkiem okręgu i którego boki przecinają okrąg w dwóch punktach. Łuk, którego kąt ogranicza punktami przecięcia, nazywamy łukiem, na którym spoczywa dany kąt.
Rozważ przykład 1.
Na rysunku kąt AOB jest centralny, ponieważ wierzchołek kąta i środek okręgu to jeden punkt O. Opiera się on na łuku AB, który nie zawiera punktu C.
Czym różni się kąt wpisany od środkowego?
Jednak oprócz środkowych są też kąty wpisane. Jaka jest ich różnica? Podobnie jak centralny, kąt wpisany w okrąg opiera się na pewnym łuku. Ale jego wierzchołek nie pokrywa się ze środkiem koła, ale leży na nim.
Weźmy następujący przykład.
Kąt ACB nazywany jest kątem wpisanym w okrąg ze środkiem w punkcie O. Punkt C należy do okręgu, to znaczy leży na nim. Kąt spoczywa na łuku AB.
Jaki jest kąt środkowy
Aby skutecznie radzić sobie z problemami geometrii, nie wystarczy rozróżniać kąty wpisane i środkowe. Z reguły, aby je rozwiązać, musisz dokładnie wiedzieć, jak znaleźć kąt środkowy w okręgu i umieć obliczyć jego wartość w stopniach.
Kąt środkowy jest równy mierze kąta łuku, na którym się opiera.
Na rysunku kąt AOB spoczywa na łuku AB równym 66°. Zatem kąt AOB jest również równy 66°.
Tak więc kąty środkowe oparte na równych łukach są równe.
Na rysunku łuk DC jest równy łukowi AB. Zatem kąt AOB jest równy kątowi DOC.
Jak znaleźć kąt wpisany
Może się wydawać, że kąt wpisany w okrąg jest równy kątowi środkowemu,który opiera się na tym samym łuku. Jest to jednak poważny błąd. W rzeczywistości, nawet patrząc na rysunek i porównując te kąty ze sobą, widać, że ich miary stopni będą miały różne wartości. Więc jaki jest kąt wpisany w okrąg?
Miarą stopnia wpisanego kąta jest połowa łuku, na którym się opiera, lub połowa kąta środkowego, jeśli opierają się na tym samym łuku.
Rozważmy przykład. Kąt ACB jest oparty na łuku równym 66°.
Więc kąt DIA=66°: 2=33°
Rozważmy niektóre konsekwencje tego twierdzenia.
- Kąty wpisane, jeśli bazują na tym samym łuku, cięciwie lub równych łukach, są równe.
- Jeżeli wpisane kąty bazują na tym samym cięciwie, ale ich wierzchołki leżą po przeciwnych stronach, suma miary stopni takich kątów wynosi 180°, ponieważ w tym przypadku oba kąty bazują na łukach, całkowita miara stopnia wynosi 360 ° (całe koło), 360 °: 2=180 °
- Jeżeli wpisany kąt jest oparty na średnicy danego okręgu, jego miara wynosi 90°, ponieważ średnica obejmuje łuk równy 180°, 180°: 2=90°
- Jeżeli kąt środkowy i wpisany w kole bazują na tym samym łuku lub cięciwie, wtedy kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego.
Gdzie można znaleźć problemy na ten temat? Ich rodzaje i rozwiązania
Ponieważ okrąg i jego właściwości są jednym z najważniejszych działów geometrii, w szczególności planimetrii, kąty wpisane i środkowe w kole to temat, który jest szeroko i szczegółowostudiował w szkolnym programie nauczania. Zadania poświęcone ich właściwościom znajdują się w głównym egzaminie państwowym (OGE) oraz ujednoliconym egzaminie państwowym (USE). Z reguły, aby rozwiązać te problemy, należy znaleźć kąty na okręgu w stopniach.
Kąty oparte na tym samym łuku
Ten rodzaj problemu jest prawdopodobnie jednym z najłatwiejszych, ponieważ aby go rozwiązać, musisz znać tylko dwie proste właściwości: jeśli oba kąty są wpisane i opierają się na tym samym cięciwie, są równe, jeśli jeden z nich jest centralny, to odpowiedni kąt wpisany jest równy jego połowie. Jednak przy ich rozwiązywaniu należy być niezwykle ostrożnym: czasami trudno jest tę właściwość zauważyć, a uczniowie, rozwiązując tak proste problemy, wpadają w ślepy zaułek. Rozważ przykład.
Problem 1
Biorąc pod uwagę okrąg ze środkiem w punkcie O. Kąt AOB wynosi 54°. Znajdź miarę stopnia kąta DIA.
To zadanie jest rozwiązane w jednym kroku. Jedyne, czego potrzebujesz, aby szybko znaleźć odpowiedź, to zauważyć, że łuk, na którym spoczywają oba rogi, jest wspólny. Widząc to, możesz zastosować znaną już właściwość. Kąt ACB to połowa kąta AOB. Więc
1) AOB=54°: 2=27°.
Odpowiedź: 54°.
Kąty oparte na różnych łukach tego samego okręgu
Czasami rozmiar łuku, na którym spoczywa wymagany kąt, nie jest bezpośrednio określony w warunkach zadania. Aby to obliczyć, musisz przeanalizować wielkości tych kątów i porównać je ze znanymi właściwościami okręgu.
Problem 2
W okręgu o środku w punkcie O, kąt AOCwynosi 120°, a kąt AOB wynosi 30°. Znajdź zakątek TY.
Na początek warto powiedzieć, że można rozwiązać ten problem przy użyciu własności trójkątów równoramiennych, ale będzie to wymagało większej liczby operacji matematycznych. Dlatego tutaj przeanalizujemy rozwiązanie wykorzystując właściwości kątów środkowych i wpisanych w kole.
Więc kąt AOC spoczywa na łuku AC i jest centralny, co oznacza, że łuk AC jest równy kątowi AOC.
AC=120°
W ten sam sposób kąt AOB opiera się na łuku AB.
AB=30°.
Widząc to oraz miarę stopnia całego okręgu (360°), możesz łatwo znaleźć wielkość łuku BC.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Wierzchołek kąta CAB, punkt A, leży na okręgu. Stąd kąt CAB jest wpisany i równy połowie łuku CB.
Kąt kabiny=210°: 2=110°
Odpowiedź: 110°
Problemy w oparciu o współczynniki łuku
Niektóre zadania w ogóle nie zawierają danych o kątach, więc należy je przeszukiwać tylko na podstawie znanych twierdzeń i własności okręgu.
Problem 1
Znajdź kąt wpisany w okrąg podparty cięciwą równą promieniowi danego okręgu.
Jeśli w myślach narysujesz linie łączące końce segmentu ze środkiem koła, otrzymasz trójkąt. Po zbadaniu tego widać, że te linie są promieniami koła, co oznacza, że wszystkie boki trójkąta są równe. Wiemy, że wszystkie kąty trójkąta równobocznegosą równe 60°. Stąd łuk AB zawierający wierzchołek trójkąta jest równy 60°. Stąd znajdujemy łuk AB, na którym opiera się żądany kąt.
AB=360° - 60°=300°
Kąt ABC=300°: 2=150°
Odpowiedź: 150°
Problem 2
W okręgu o środku w punkcie O, łuki są powiązane w 3:7. Znajdź mniejszy wpisany kąt.
Dla rozwiązania oznaczamy jedną część jako X, następnie jeden łuk jest równy 3X, a drugi odpowiednio 7X. Wiedząc, że miara stopnia koła wynosi 360°, możemy napisać równanie.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Zgodnie z warunkami musisz znaleźć mniejszy kąt. Oczywiście, jeśli wartość kąta jest wprost proporcjonalna do łuku, na którym się opiera, to wymagany (mniejszy) kąt odpowiada łukowi równemu 3X.
Więc mniejszy kąt to (36°3): 2=108°: 2=54°
Odpowiedź: 54°
Problem 3
W okręgu o środku w punkcie O, kąt AOB wynosi 60°, a długość mniejszego łuku wynosi 50. Oblicz długość większego łuku.
Aby obliczyć długość większego łuku, musisz dokonać proporcji - jak ma się mniejszy łuk do większego. Aby to zrobić, obliczamy wielkość obu łuków w stopniach. Mniejszy łuk jest równy kątowi, który na nim spoczywa. Jego miarą jest 60°. Większy łuk jest równy różnicy między stopniem pomiaru okręgu (jest równy 360° niezależnie od innych danych) a mniejszym łukiem.
Duży łuk to 360° - 60°=300°.
Ponieważ 300°: 60°=5, większy łuk jest 5 razy mniejszy.
Duży łuk=505=250
Odpowiedź: 250
Więc oczywiście są innipodejścia do rozwiązywania podobnych problemów, ale wszystkie z nich są w jakiś sposób oparte na właściwościach kątów środkowych i wpisanych, trójkątów i okręgów. Aby skutecznie je rozwiązać, należy dokładnie przestudiować rysunek i porównać go z danymi problemu, a także umieć zastosować swoją wiedzę teoretyczną w praktyce.
