Pochodna cosinusa znajduje się przez analogię z pochodną sinusa, podstawą dowodu jest określenie granicy funkcji. Możesz użyć innej metody, używając wzorów redukcji trygonometrycznych dla cosinusa i sinusa kątów. Wyraź jedną funkcję za pomocą drugiej - cosinus za pomocą sinusa i rozróżnij sinus za pomocą złożonego argumentu.
Rozważ pierwszy przykład wyprowadzenia formuły (Cos(x))'
Nadaj pomijalnie mały przyrost Δx argumentowi x funkcji y=Cos(x). Mając nową wartość argumentu х+Δх, otrzymujemy nową wartość funkcji Cos(х+Δх). Wtedy przyrost funkcji Δy będzie równy Cos(х+Δx)-Cos(x).
Stosunek przyrostu funkcji do Δх będzie wynosił: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Przeprowadźmy identyczne przekształcenia w liczniku wynikowego ułamka. Przypomnij sobie wzór na różnicę cosinusów kątów, wynik będzie iloczynem -2Sin (Δx / 2) razy Sin (x + Δx / 2). Znajdujemy granicę ilorazu lim tego produktu na Δx, ponieważ Δx dąży do zera. Wiadomo, że pierwszy(nazywa się to cudownym) granica lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) jest równa 1, a granica -Sin(x+Δx/2) jest równa -Sin(x) jako Δx dąży do zera. Zapisz wynik: pochodna (Cos(x))' jest równa - Sin(x).
Niektórzy wolą drugi sposób wyprowadzenia tej samej formuły
Z przebiegu trygonometrii wiadomo: Cos(x) jest równe Sin(0,5 ∏-x), podobnie Sin(x) jest równe Cos(0,5 ∏-x). Następnie różnicujemy funkcję zespoloną - sinus dodatkowego kąta (zamiast cosinusa x).
Otrzymujemy iloczyn Cos(0,5 ∏-x) (0,5 ∏-x)', ponieważ pochodna sinusa x jest równa cosinusowi X. Przechodzimy do drugiego wzoru Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) zamiany cosinusa na sinus, biorąc pod uwagę, że (0,5 ∏-x)'=-1. Teraz otrzymujemy -Sin(x). Więc znaleziono pochodną cosinusa, y'=-Sin(x) dla funkcji y=Cos(x).
Pochodna cosinusa do kwadratu
Powszechnie używany przykład, w którym używana jest pochodna cosinusa. Funkcja y=Cos2(x) jest trudna. Najpierw znajdujemy różniczkę funkcji potęgowej o wykładniku 2, będzie to 2·Cos(x), następnie mnożymy ją przez pochodną (Cos(x))', która jest równa -Sin(x). Otrzymujemy y'=-2 Cos(x) Sin(x). Kiedy zastosujemy formułę Sin(2x), sinus podwójnego kąta, otrzymamy ostateczną uproszczonąodpowiedź y'=-Sin(2x)
Funkcje hiperboliczne
Są one wykorzystywane w badaniach wielu dyscyplin technicznych: na przykład w matematyce ułatwiają obliczanie całek, rozwiązywanie równań różniczkowych. Są one wyrażane w postaci funkcji trygonometrycznych z urojonymargument, więc cosinus hiperboliczny ch(x)=Cos(i x), gdzie i jest jednostką urojoną, sinus hiperboliczny sh(x)=Sin(i x).
Pochodna cosinusa hiperbolicznego jest obliczana w prosty sposób.
Rozważ funkcję y=(ex+e-x) /2, to i jest cosinus hiperboliczny ch(x). Posługujemy się regułą znajdowania pochodnej sumy dwóch wyrażeń, regułą wyciągania stałej (Const) ze znaku pochodnej. Drugi składnik 0.5 e-x jest funkcją złożoną (jej pochodna to -0.5 e-x), 0.5 eх ― pierwszy semestr. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' można zapisać w inny sposób: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, ponieważ pochodna (e - x)' równa się -1 razy e-x. Wynikiem jest różnica, a to jest sinus hiperboliczny sh(x).Wyjście: (ch(x))'=sh(x).
Przyjrzyjmy się przykładowi oblicz pochodną funkcji y=ch(x
3+1).Zgodnie z regułą hiperbolicznego różniczkowania cosinusów ze złożonym argumentem y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', gdzie (x3+1)'=3 x 2+0. Odpowiedź: pochodna tej funkcji to 3 x
2sh(x3+1).
Pochodne tabelaryczne rozważanych funkcji y=ch(x) i y=Cos(x)
Przy rozwiązywaniu przykładów nie ma potrzeby ich każdorazowego różnicowania według zaproponowanego schematu, wystarczy skorzystać z wnioskowania.
Przykład. Rozróżnij funkcję y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Łatwe do obliczenia (użyj danych tabelarycznych), y'=-Sin(x) +Sin(2x)-5 Sh(5x).
