Na słowo „nieskończoność” każda osoba ma swoje własne skojarzenia. Wielu rysuje w wyobraźni morze, które sięga poza horyzont, podczas gdy inni mają przed oczami obraz bezkresnego gwiaździstego nieba. Matematycy, przyzwyczajeni do operowania liczbami, zupełnie inaczej wyobrażają sobie nieskończoność. Od wieków próbują znaleźć największą z wielkości fizycznych potrzebnych do pomiaru. Jednym z nich jest numer Grahama. Ile jest w nim zer i do czego jest używany, ten artykuł powie.
Nieskończenie duża liczba
W matematyce jest to nazwa takiej zmiennej x , jeśli dla dowolnej liczby dodatniej M można podać liczbę naturalną N taką, że dla wszystkich liczb n większych od N nierówność |x | > M. Jednak nie, np. liczbę całkowitą Z można uznać za nieskończenie dużą, ponieważ zawsze będzie mniejsza niż (Z + 1).
Kilka słów o „gigantach”
Największe liczby, które mają znaczenie fizyczne, to:
- 1080. Liczba ta, potocznie nazywana quinquavigintillion, jest używana do określenia przybliżonej liczby kwarków i leptonów (najmniejszych cząstek) we Wszechświecie.
- 1 Google. Taka liczba w systemie dziesiętnym jest zapisana jako jednostka ze 100 zerami. Według niektórych modeli matematycznych, od czasu Wielkiego Wybuchu do wybuchu najbardziej masywnej czarnej dziury powinno upłynąć od 1 do 1,5 googol roku, po czym nasz Wszechświat wejdzie w ostatni etap swojego istnienia, czyli możemy załóżmy, że ta liczba ma pewne znaczenie fizyczne.
- 8, 5 x 10185. Stała Plancka to 1,616199 x 10-35 m, czyli w zapisie dziesiętnym wygląda to na 0,0000000000000000000000000000616199 m. Na cal jest około 1 googol Planck. Szacuje się, że około 8,5 x 10185 długości Plancka mogą zmieścić się w całym naszym wszechświecie.
- 277 232 917 – 1. Jest to największa znana liczba pierwsza. Jeśli jego notacja binarna ma dość zwartą formę, to aby przedstawić ją w postaci dziesiętnej, zajmie nie mniej niż 13 milionów znaków. Został znaleziony w 2017 roku w ramach projektu poszukiwania liczb Mersenne'a. Jeśli entuzjaści nadal będą pracować w tym kierunku, to na obecnym poziomie rozwoju technologii komputerowej jest mało prawdopodobne, aby w najbliższej przyszłości mogli znaleźć liczbę Mersenne'a o rząd wielkości większą niż 277 232 917- 1, chociaż takieszczęśliwy zwycięzca otrzyma 150 000 USD.
- Hugoplex. Tutaj po prostu bierzemy 1 i dodajemy po nim zera w ilości 1 googola. Możesz wpisać tę liczbę jako 10^10^100. Nie da się tego przedstawić w postaci dziesiętnej, bo jeśli całą przestrzeń Wszechświata wypełniają kartki, na których na każdym napisano by 0 czcionką „Word” wielkości 10, to w tym przypadku tylko połowa wszystkie 0 po 1 zostaną uzyskane dla numeru googolplex.
- 10^10^10^10^10^1.1. Jest to liczba pokazująca liczbę lat, po których, zgodnie z twierdzeniem Poincarégo, nasz Wszechświat w wyniku losowych fluktuacji kwantowych powróci do stanu zbliżonego do dzisiejszego.
Jak powstały liczby Grahama
W 1977 roku znany popularyzator nauki Martin Gardner opublikował w Scientific American artykuł dotyczący dowodu Grahama na jeden z problemów teorii Ramse'a. Nazwał w nim granicę wyznaczoną przez naukowca największą liczbą, jaką kiedykolwiek użyto w poważnym rozumowaniu matematycznym.
Kim jest Ronald Lewis Graham
Naukowiec, obecnie po osiemdziesiątce, urodził się w Kalifornii. W 1962 otrzymał doktorat z matematyki na Uniwersytecie Berkeley. Pracował w Bell Labs przez 37 lat, a później przeniósł się do AT&T Labs. Naukowiec aktywnie współpracował z jednym z największych matematyków XX wieku, Palem Erdősem i jest zdobywcą wielu prestiżowych nagród. Bibliografia naukowa Grahama zawiera ponad 320 artykułów naukowych.
W połowie lat 70. naukowiec interesował się problemem związanym z teoriąRamseya. W jego dowodzie określono górną granicę rozwiązania, która jest bardzo dużą liczbą, nazwaną następnie imieniem Ronalda Grahama.
Problem z hiperkostką
Aby zrozumieć istotę liczby Grahama, musisz najpierw zrozumieć, w jaki sposób została ona uzyskana.
Naukowiec i jego kolega Bruce Rothschild rozwiązywali następujący problem:
Istnieje n-wymiarowy hipersześcian. Wszystkie pary jego wierzchołków są połączone w taki sposób, że otrzymuje się kompletny wykres z 2wierzchołkami. Każda z jego krawędzi jest koloru niebieskiego lub czerwonego. Należało znaleźć minimalną liczbę wierzchołków, jaką powinien mieć hipersześcian, aby każde takie zabarwienie zawierało kompletny podgraf monochromatyczny z 4 wierzchołkami leżącymi w tej samej płaszczyźnie.
Decyzja
Graham i Rothschild udowodnili, że problem ma rozwiązanie N' spełniające warunek 6 ⩽ N' ⩽N gdzie N jest dobrze zdefiniowaną, bardzo dużą liczbą.
Dolna granica dla N została następnie udoskonalona przez innych naukowców, którzy udowodnili, że N musi być większe lub równe 13. Tak więc wyrażenie dla najmniejszej liczby wierzchołków hipersześcianu, które spełnia przedstawione powyżej warunki, stało się 13 ⩽ N'⩽ N.
Zapis strzałki Knutha
Przed zdefiniowaniem liczby Grahama powinieneś zapoznać się z metodą jej symbolicznej reprezentacji, ponieważ ani notacja dziesiętna, ani dwójkowa nie jest do tego absolutnie odpowiednia.
Obecnie do przedstawienia tej wielkości używana jest notacja strzałkowa Knutha. Według niej:
ab=strzałka w górę b.
Dla operacji wielokrotnej potęgi wprowadzono wpis:
a "strzałka w górę" "strzałka w górę" b=ab="wieża składająca się z a w ilości b części."
A do pentacji, czyli symbolicznego oznaczenia powtarzającej się potęgi poprzedniego operatora, Knuth użył już 3 strzałek.
Używając tego zapisu dla liczby Grahama, mamy zagnieżdżone w sobie sekwencje „strzałek”, w ilości 64 szt.
Skala
Ich słynna liczba, która pobudza wyobraźnię i poszerza granice ludzkiej świadomości, wynosząc ją poza granice Wszechświata, Graham i jego koledzy otrzymali ją jako górną granicę liczby N w dowodzie hipersześcianu problem przedstawiony powyżej. Zwykłemu człowiekowi niezwykle trudno jest wyobrazić sobie, jak duża jest jego skala.
Kwestia liczby znaków lub, jak się czasem błędnie mówi, zer w liczbie Grahama, interesuje prawie każdego, kto pierwszy raz słyszy o tej wartości.
Dość powiedzieć, że mamy do czynienia z szybko rosnącą sekwencją, która składa się z 64 członków. Nawet jego pierwszy termin jest nie do wyobrażenia, ponieważ składa się z n „wież”, składających się z 3-to. Już jego „dolne piętro” z 3 trójkami jest równe 7 625 597 484 987, czyli przekracza 7 miliardów, co oznacza 64 piętro (nie członek!). Dlatego obecnie nie można dokładnie powiedzieć, czym jest liczba Grahama, ponieważ nie wystarczy ją obliczyć.połączona moc wszystkich komputerów, które istnieją obecnie na Ziemi.
Rekord złamany?
W trakcie dowodzenia twierdzenia Kruskala liczba Grahama została „zrzucona z piedestału”. Naukowiec zaproponował następujący problem:
Istnieje nieskończona sekwencja skończonych drzew. Kruskal udowodnił, że zawsze istnieje fragment jakiegoś wykresu, który jest zarówno częścią większego wykresu, jak i jego dokładną kopią. To stwierdzenie nie budzi żadnych wątpliwości, bo wiadomo, że w nieskończoności zawsze będzie dokładnie powtarzająca się kombinacja
Później Harvey Friedman nieco zawęził ten problem, biorąc pod uwagę tylko takie acykliczne grafy (drzewa), że dla konkretnego grafu o współczynniku i występują co najwyżej (i + k) wierzchołki. Postanowił dowiedzieć się, jaka powinna być liczba grafów acyklicznych, aby tą metodą ich zadania zawsze można było znaleźć poddrzewo, które byłoby osadzone w innym drzewie.
W wyniku badań nad tym zagadnieniem stwierdzono, że N, w zależności od k, rośnie z ogromną prędkością. W szczególności, jeśli k=1, to N=3. Jednak przy k=2, N już osiąga 11. Najciekawsza rzecz zaczyna się, gdy k=3. W tym przypadku N szybko „ulatuje” i osiąga wartość, która jest wielokrotnie większa niż liczba Grahama. Aby sobie wyobrazić, jaka jest duża, wystarczy zapisać liczbę obliczoną przez Ronalda Grahama w postaci G64 (3). Wtedy wartość Friedmana-Kruskala (rev. FinKraskal(3)) będzie rzędu G(G(187196)). Innymi słowy, uzyskuje się mega-wartość, która jest nieskończenie większaniewyobrażalnie duża liczba Grahama. W tym samym czasie, nawet to będzie mniej niż nieskończoność gigantyczną liczbę razy. Warto omówić tę koncepcję bardziej szczegółowo.
Nieskończoność
Teraz, gdy wyjaśniliśmy, czym jest liczba Grahama na palcach, powinniśmy zrozumieć znaczenie, które było i jest inwestowane w tę filozoficzną koncepcję. W końcu „nieskończoność” i „nieskończenie dużą liczbę” można uznać za identyczne w pewnym kontekście.
Największy wkład w badanie tego zagadnienia wniósł Arystoteles. Wielki myśliciel starożytności podzielił nieskończoność na potencjalną i faktyczną. Przez to ostatnie miał na myśli rzeczywistość istnienia rzeczy nieskończonych.
Według Arystotelesa źródła idei dotyczących tej podstawowej koncepcji to:
- czas;
- separacja wartości;
- pojęcie granicy i istnienie czegoś poza nią;
- niewyczerpanie twórczej natury;
- myślenie bez granic.
We współczesnej interpretacji nieskończoności nie można określić miary ilościowej, więc poszukiwanie największej liczby może trwać w nieskończoność.
Wniosek
Czy metaforę „Spojrzenie w nieskończoność” i liczbę Grahama można w pewnym sensie uznać za synonimy? Raczej tak i nie. Oba są niewyobrażalne, nawet przy najsilniejszej wyobraźni. Jednak, jak już wspomniano, nie można go uznać za „najbardziej, najbardziej”. Inną rzeczą jest to, że w tej chwili wartości większe niż liczba Grahama nie mają ustalonejzmysł fizyczny.
Ponadto nie ma właściwości nieskończonej liczby, takich jak:
- ∞ + 1=∞;
- istnieje nieskończona liczba liczb parzystych i nieparzystych;
- ∞ - 1=∞;
- liczba liczb nieparzystych to dokładnie połowa wszystkich liczb;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Podsumowując: według Księgi Rekordów Guinnessa liczba Grahama jest największą liczbą w praktyce dowodu matematycznego. Istnieją jednak liczby, które są wielokrotnie większe niż ta wartość.
Najprawdopodobniej w przyszłości będzie potrzeba jeszcze większych „gigantów”, zwłaszcza jeśli osoba wyjdzie poza nasz Układ Słoneczny lub wymyśli coś niewyobrażalnego na obecnym poziomie naszej świadomości.
