W matematyce i przetwarzaniu pojęcie sygnału analitycznego (w skrócie - C, AC) jest złożoną funkcją, która nie ma ujemnych składowych częstotliwościowych. Rzeczywiste i urojone części tego zjawiska są funkcjami rzeczywistymi powiązanymi ze sobą transformatą Hilberta. Sygnał analityczny jest dość powszechnym zjawiskiem w chemii, którego istota jest zbliżona do matematycznej definicji tego pojęcia.
Występy
Reprezentacja analityczna funkcji rzeczywistej to sygnał analityczny zawierający pierwotną funkcję i jej transformację Hilberta. Ta reprezentacja ułatwia wiele manipulacji matematycznych. Główną ideą jest to, że ujemne składowe częstotliwościowe transformaty Fouriera (lub widma) funkcji rzeczywistej są redundantne ze względu na hermitowską symetrię takiego widma. Te ujemne składowe częstotliwości można odrzucić bezutratę informacji, pod warunkiem, że zamiast tego chcesz zająć się złożoną funkcją. Dzięki temu niektóre atrybuty funkcji są bardziej dostępne i łatwiej jest wyprowadzić techniki modulacji i demodulacji, takie jak SSB.
Komponenty ujemne
Dopóki manipulowana funkcja nie ma ujemnych składowych częstotliwości (tj. nadal jest analityczna), konwersja ze stanu złożonego z powrotem na rzeczywistą jest po prostu kwestią odrzucenia części urojonej. Reprezentacja analityczna jest uogólnieniem pojęcia wektora: podczas gdy wektor jest ograniczony do niezmiennej w czasie amplitudy, fazy i częstotliwości, analiza jakościowa sygnału analitycznego pozwala na parametry zmienne w czasie.
Chwilowa amplituda, chwilowa faza i częstotliwość są używane w niektórych aplikacjach do pomiaru i wykrywania lokalnych cech C. Inne zastosowanie reprezentacji analitycznej dotyczy demodulacji modulowanych sygnałów. Współrzędne biegunowe dogodnie oddzielają efekty modulacji AM i fazy (lub częstotliwości) i skutecznie demodulują niektóre rodzaje.
Wtedy prosty filtr dolnoprzepustowy z rzeczywistymi współczynnikami może odciąć część zainteresowania. Innym motywem jest obniżenie maksymalnej częstotliwości, co obniża minimalną częstotliwość próbkowania bez aliasów. Przesunięcie częstotliwości nie podważa matematycznej użyteczności reprezentacji. Zatem w tym sensie przekształcenie w dół jest nadal analityczne. Jednak przywrócenie rzeczywistej reprezentacjinie jest już prostą sprawą prostego wydobycia prawdziwego komponentu. Może być wymagana konwersja w górę, a jeśli sygnał jest próbkowany (czas dyskretny), może być również wymagana interpolacja (próbkowanie w górę), aby uniknąć aliasingu.
Zmienne
Pojęcie to jest dobrze zdefiniowane dla zjawisk o jednej zmiennej, które zwykle są tymczasowe. Ta doczesność dezorientuje wielu początkujących matematyków. Dla dwóch lub więcej zmiennych analityczne C można zdefiniować na różne sposoby, a poniżej przedstawiono dwa podejścia.
Części rzeczywiste i urojone tego zjawiska odpowiadają dwóm elementom sygnału monogenowego o wartości wektorowej, jak zdefiniowano dla podobnych zjawisk z jedną zmienną. Jednak monogeniczny można w prosty sposób rozszerzyć na dowolną liczbę zmiennych, tworząc (n + 1)-wymiarową funkcję wektorową dla przypadku sygnałów n-zmiennych.
Konwersja sygnału
Możesz przekonwertować sygnał rzeczywisty na analityczny, dodając składową urojoną (Q), która jest transformacją Hilberta składowej rzeczywistej.
Nawiasem mówiąc, nie jest to nowość w przetwarzaniu cyfrowym. Jeden z tradycyjnych sposobów generowania AM z pojedynczą wstęgą boczną (SSB), metoda fazowania, polega na tworzeniu sygnałów poprzez generowanie transformaty Hilberta sygnału audio w analogowej sieci rezystorowo-kondensatorowej. Ponieważ ma tylko dodatnie częstotliwości, łatwo jest przekonwertować go na modulowany sygnał RF z tylko jedną wstęgą boczną.
Formuły definicji
Analityczna ekspresja sygnału to holomorficzna funkcja zespolona zdefiniowana na granicy górnej półpłaszczyzny kompleksu. Granica górnej półpłaszczyzny pokrywa się z przypadkową, więc C jest podane przez odwzorowanie fa: R → C. Od połowy ubiegłego wieku, kiedy Denis Gabor zaproponował w 1946 roku wykorzystanie tego zjawiska do badania stałej amplitudy i fazy, sygnał znalazł wiele zastosowań. Podkreślono specyfikę tego zjawiska [Vak96], gdzie wykazano, że jedynie jakościowa analiza sygnału analitycznego odpowiada warunkom fizycznym dla amplitudy, fazy i częstotliwości.
Najnowsze osiągnięcia
W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat pojawiło się zainteresowanie badaniem sygnałów w wielu wymiarach, motywowane problemami pojawiającymi się w dziedzinach od przetwarzania obrazu / wideo po wielowymiarowe procesy oscylacyjne w fizyce, takie jak sejsmika, pole elektromagnetyczne i fale grawitacyjne. Powszechnie przyjmuje się, że aby poprawnie uogólnić analityczną C (analizę jakościową) na przypadek kilku wymiarów, należy oprzeć się na konstrukcji algebraicznej, która w dogodny sposób rozszerza zwykłe liczby zespolone. Takie konstrukcje są zwykle nazywane liczbami hiperkompleksowymi [SKE].
Na koniec, powinno być możliwe skonstruowanie hiperkompleksowego sygnału analitycznego fh: Rd → S, w którym przedstawiony jest pewien ogólny hiperkompleksowy system algebraiczny, który w naturalny sposób rozszerza wszystkie wymagane właściwości, aby uzyskać chwilową amplitudę ifaza.
Badanie
Szereg artykułów poświęcony jest różnym zagadnieniom związanym z prawidłowym doborem hiperzespołowego systemu liczbowego, definicją hiperzespołowej transformaty Fouriera oraz ułamkowej transformaty Hilberta do badania chwilowej amplitudy i fazy. Większość tej pracy opierała się na własnościach różnych przestrzeni, takich jak Cd, kwaterniony, algebry Clearona i konstrukcje Cayleya-Dixona.
Następnie wymienimy tylko niektóre prace poświęcone badaniu sygnału w wielu wymiarach. O ile nam wiadomo, pierwsze prace nad metodą wielowymiarową uzyskano na początku lat 90. XX wieku. Należą do nich praca Ella [Ell92] na temat przekształceń hiperzłożonych; Praca Bulowa nad uogólnieniem metody reakcji analitycznej (sygnału analitycznego) na wiele pomiarów [BS01] oraz praca Felsberga i Sommera nad sygnałami monogenicznymi.
Dalsze perspektywy
Oczekuje się, że sygnał hiperkompleksowy rozszerzy wszystkie użyteczne właściwości, jakie mamy w przypadku 1D. Przede wszystkim musimy być w stanie wyodrębnić i uogólnić chwilową amplitudę i fazę do pomiarów. Po drugie, widmo Fouriera złożonego sygnału analitycznego jest utrzymywane tylko przy częstotliwościach dodatnich, więc oczekujemy, że hiperzłożona transformata Fouriera będzie miała własne widmo hiperwartościowe, które będzie utrzymywane tylko w pewnym dodatnim kwadrancie przestrzeni hiperzłożonej. Bo to bardzo ważne.
Po trzecie, sprzężone części złożonej koncepcjisygnału analitycznego są powiązane z transformatą Hilberta i możemy oczekiwać, że sprzężone składniki w przestrzeni hiperkompleksowej muszą być również powiązane z pewną kombinacją transformat Hilberta. I na koniec, rzeczywiście, sygnał hiperkompleksowy musi być zdefiniowany jako rozszerzenie pewnej hiperkompleksowej funkcji holomorficznej kilku hiperkompleksowych zmiennych zdefiniowanych na granicy jakiejś formy w przestrzeni hiperkompleksowej.
Rozwiązujemy te problemy w kolejności sekwencyjnej. Przede wszystkim zaczynamy od spojrzenia na wzór na całkę Fouriera i pokazujemy, że transformacja Hilberta do 1-D jest powiązana ze zmodyfikowanym wzorem na całkę Fouriera. Fakt ten pozwala nam określić chwilową amplitudę, fazę i częstotliwość bez odniesienia do hiperzłożonych systemów liczbowych i funkcji holomorficznych.
Modyfikacja całek
Kontynuujemy rozszerzanie zmodyfikowanego wzoru na całkę Fouriera do kilku wymiarów i określanie wszystkich niezbędnych składowych przesuniętych w fazie, które możemy zebrać w chwilową amplitudę i fazę. Po drugie, zwracamy się do pytania o istnienie funkcji holomorficznych kilku zmiennych hiperkompleksowych. Po [Sch93] okazuje się, że przemienna i asocjacyjna algebra hiperkompleksowa generowana przez zbiór generatorów eliptycznych (e2i=−1) jest odpowiednią przestrzenią do życia hiperkompleksowego sygnału analitycznego, taką hiperkompleksową algebrę nazywamy przestrzenią Schaefersa i oznaczamy toSd.
Dlatego hiperkompleks sygnałów analitycznych jest zdefiniowany jako funkcja holomorficzna na granicy polidysku / górnej połowy płaszczyzny w pewnej przestrzeni hiperkompleksowej, którą nazywamy ogólną przestrzenią Schaefersa i oznaczoną przez Sd. Następnie obserwujemy poprawność wzoru całkowego Cauchy'ego dla funkcji Sd → Sd, które są obliczane na hiperpowierzchni wewnątrz polidysku w Sd i wyprowadzamy odpowiednie ułamkowe transformaty Hilberta, które wiążą hiperkompleksowe składniki sprzężone. Ostatecznie okazuje się, że transformata Fouriera z wartościami w przestrzeni Schaefersa obsługiwana jest tylko przy częstotliwościach nieujemnych. Dzięki temu artykułowi dowiedziałeś się, czym jest sygnał analityczny.
