Wielomian lub wielomian - jedna z podstawowych struktur algebraicznych, która występuje w matematyce szkolnej i wyższej. Badanie wielomianu jest najważniejszym tematem kursu algebry, ponieważ z jednej strony wielomiany są dość proste w porównaniu z innymi typami funkcji, a z drugiej są szeroko stosowane w rozwiązywaniu problemów analizy matematycznej. Czym więc jest wielomian?
Definicja
Definicję terminu wielomian można podać za pomocą pojęcia jednomianu lub jednomianu.
Jednomian jest wyrażeniem postaci cx1i1x2 i2 …x w. Tutaj ñ jest stałą, x1, x2, … x - zmienne, i1, i2, … w - wykładniki zmiennych. Wtedy wielomian jest dowolną skończoną sumą jednomianów.
Aby zrozumieć, czym jest wielomian, możesz spojrzeć na konkretne przykłady.
Trójmian kwadratowy, szczegółowo omówiony na zajęciach z matematyki w ósmej klasie, jest wielomianem: ax2+bx+c.
Wielomian z dwiema zmiennymi może wyglądać tak: x2-xy+y2. Takiwielomian jest również nazywany niepełnym kwadratem różnicy między x i y.
Klasyfikacje wielomianowe
Stopień wielomianu
Dla każdego jednomianu w wielomianu znajdź sumę wykładników i1+i2+…+in. Największa z sum nazywana jest wykładnikiem wielomianu, a jednomian odpowiadający tej sumie nazywany jest wyrazem najwyższym.
Nawiasem mówiąc, każdą stałą można uznać za wielomian stopnia zerowego.
Wielomiany zredukowane i niezredukowane
Jeżeli współczynnik c jest równy 1 dla najwyższego członu, wówczas podany jest wielomian, w przeciwnym razie nie jest.
Na przykład wyrażenie x2+2x+1 jest zredukowanym wielomianem, a 2x2+2x+1 nie jest zredukowane.
Wielomiany jednorodne i niejednorodne
Jeśli stopnie wszystkich elementów wielomianu są równe, wtedy mówimy, że taki wielomian jest jednorodny. Wszystkie inne wielomiany są uważane za niejednorodne.
Jednorodne wielomiany: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogeniczne: x+1, x2+y.
Istnieją specjalne nazwy wielomianu złożonego z dwóch i trzech terminów: odpowiednio dwumianowy i trójmianowy.
Wielomiany jednej zmiennej są przydzielone do oddzielnej kategorii.
Zastosowanie wielomianu jednej zmiennej
Wielomiany jednej zmiennej przybliżają dobrze ciągłe funkcje o różnej złożoności z jednego argumentu.
Faktem jest, że takie wielomiany można traktować jako częściowe sumy szeregu potęgowego, a funkcję ciągłą można przedstawić jako szereg z dowolnie małym błędem. Szeregi rozwinięcia funkcji nazywane są szeregami Taylora, a ichsumy cząstkowe w postaci wielomianów - wielomiany Taylora.
Badanie graficzne zachowania funkcji przez aproksymację za pomocą jakiegoś wielomianu jest często łatwiejsze niż badanie tej samej funkcji bezpośrednio lub przy użyciu serii.
Łatwo jest szukać pochodnych wielomianów. Aby znaleźć pierwiastki wielomianów stopnia 4 i niższych, istnieją gotowe formuły, a do pracy z wyższymi stopniami używane są bardzo precyzyjne algorytmy przybliżone.
Istnieje również uogólnienie opisanych wielomianów dla funkcji kilku zmiennych.
Dwumian Newtona
Słynne wielomiany to wielomiany Newtona wyprowadzone przez naukowców w celu znalezienia współczynników wyrażenia (x + y).
Wystarczy spojrzeć na kilka pierwszych potęg rozkładu dwumianowego, aby upewnić się, że wzór nie jest trywialny:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Dla każdego współczynnika istnieje wyrażenie, które umożliwia jego obliczenie. Jednak zapamiętywanie niewygodnych formuł i każdorazowe wykonywanie niezbędnych operacji arytmetycznych byłoby niezwykle niewygodne dla matematyków, którzy często potrzebują takich rozwinięć. Trójkąt Pascala znacznie ułatwił im życie.
Figurka jest zbudowana zgodnie z następującą zasadą. 1 jest napisane na górze trójkąta, aw każdym kolejnym wierszu staje się jeszcze jedną cyfrą, 1 jest kładziony na krawędziach, a środek wiersza jest wypełniany sumami dwóch sąsiednich liczb z poprzedniej.
Kiedy patrzysz na ilustrację, wszystko staje się jasne.
Oczywiście użycie wielomianów w matematyce nie ogranicza się do podanych przykładów, najbardziej znanych.
