Mechanika kwantowa zajmuje się obiektami mikroświata, z najbardziej elementarnymi składnikami materii. Ich zachowanie jest zdeterminowane prawami probabilistycznymi, przejawiającymi się w postaci dualizmu korpuskularno-falowego - dualizmu. Ponadto ważną rolę w ich opisie odgrywa tak fundamentalna wielkość jak działanie fizyczne. Naturalną jednostką, która ustala skalę kwantyzacji dla tej wielkości, jest stała Plancka. Rządzi również jedną z fundamentalnych zasad fizycznych - relacją niepewności. Ta pozornie prosta nierówność odzwierciedla naturalną granicę, do której natura może odpowiedzieć jednocześnie na niektóre z naszych pytań.
Warunki wyprowadzenia relacji niepewności
Probabilistyczna interpretacja falowej natury cząstek, wprowadzona do nauki przez M. Urodzonego w 1926 r., wyraźnie wskazywała, że klasyczne idee dotyczące ruchu nie mają zastosowania do zjawisk w skali atomów i elektronów. Jednocześnie niektóre aspekty matrycymechanika, stworzona przez W. Heisenberga jako metoda matematycznego opisu obiektów kwantowych, wymagała wyjaśnienia ich fizycznego znaczenia. Metoda ta operuje więc na dyskretnych zbiorach obserwabli, reprezentowanych jako specjalne tablice - macierze, a ich mnożenie ma właściwość nieprzemienności, czyli A×B ≠ B×A.
W zastosowaniu do świata mikrocząstek można to zinterpretować w następujący sposób: wynik operacji pomiaru parametrów A i B zależy od kolejności ich wykonywania. Ponadto nierówność oznacza, że tych parametrów nie można mierzyć jednocześnie. Heisenberg zbadał kwestię związku między pomiarem a stanem mikroobiektu, przygotowując eksperyment myślowy, aby osiągnąć granicę dokładności jednoczesnego pomiaru takich parametrów cząstek, jak pęd i położenie (takie zmienne nazywa się kanonicznie sprzężoną).
Sformułowanie zasady nieoznaczoności
Rezultatem wysiłków Heisenberga było stwierdzenie w 1927 r. następującego ograniczenia w stosowalności klasycznych pojęć do obiektów kwantowych: wraz ze wzrostem dokładności wyznaczania współrzędnych dokładność, z jaką można poznać pęd, maleje. Odwrotna sytuacja również jest prawdziwa. Matematycznie ograniczenie to zostało wyrażone w relacji niepewności: Δx∙Δp ≈h. Tutaj x to współrzędna, p to pęd, a h to stała Plancka. Heisenberg doprecyzował później tę zależność: Δx∙Δp ≧h. Iloczyn „delt” – spreadów w wartości współrzędnej i pędu – mający wymiar działania nie może być mniejszy niż „najmniejszyporcja” tej wielkości jest stałą Plancka. Z reguły we wzorach stosuje się zredukowaną stałą Plancka ħ=h/2π.
Powyższy stosunek jest uogólniony. Należy wziąć pod uwagę, że obowiązuje tylko dla każdej pary współrzędnej - składowa (rzut) impulsu na odpowiednią oś:
- Δx∙Δpx ≧ ħ.
- Δy∙Δpy ≧ ħ.
- Δz∙Δpz ≧ ħ.
Relację niepewności Heisenberga można krótko wyrazić w następujący sposób: im mniejszy obszar przestrzeni, w którym porusza się cząstka, tym bardziej niepewny jest jej pęd.
Eksperyment myślowy z mikroskopem gamma
Jako ilustrację odkrytej przez siebie zasady Heisenberg rozważył wyimaginowane urządzenie, które pozwala arbitralnie dokładnie zmierzyć położenie i prędkość (a przez to pędu) elektronu poprzez rozproszenie na nim fotonu: w końcu, każdy pomiar sprowadza się do aktu interakcji cząstek, bez tego cząstka jest w ogóle niewykrywalna.
Aby zwiększyć dokładność pomiaru współrzędnych, potrzebny jest foton o krótszej długości fali, co oznacza, że będzie miał duży pęd, którego znaczna część zostanie przekazana elektronowi podczas rozpraszania. Ta część nie może być określona, ponieważ foton jest rozproszony na cząstce w sposób losowy (pomimo tego, że pęd jest wielkością wektorową). Jeżeli foton charakteryzuje się małym pędem, to ma dużą długość fali, dlatego współrzędna elektronu będzie mierzona ze znacznym błędem.
Podstawowy charakter relacji niepewności
W mechanice kwantowej stała Plancka, jak wspomniano powyżej, odgrywa szczególną rolę. Ta podstawowa stała jest zawarta w prawie wszystkich równaniach tej gałęzi fizyki. Jej obecność we wzorze na współczynnik niepewności Heisenberga, po pierwsze, wskazuje, w jakim stopniu ujawniają się te niepewności, a po drugie wskazuje, że zjawisko to nie jest związane z niedoskonałością środków i metod pomiaru, ale z właściwościami materii. sam w sobie i jest uniwersalny.
Może się wydawać, że w rzeczywistości cząsteczka nadal ma określone wartości prędkości i współrzędnych jednocześnie, a czynność pomiaru wprowadza nieusuwalną ingerencję w ich ustalenie. Jednak tak nie jest. Ruch cząstki kwantowej wiąże się z propagacją fali, której amplituda (dokładniej kwadrat jej wartości bezwzględnej) wskazuje na prawdopodobieństwo znalezienia się w określonym punkcie. Oznacza to, że obiekt kwantowy nie ma trajektorii w klasycznym sensie. Można powiedzieć, że ma ona zbiór trajektorii i wszystkie zgodnie z ich prawdopodobieństwem są realizowane podczas ruchu (potwierdzają to np. eksperymenty z interferencją fal elektronowych).
Brak klasycznej trajektorii jest równoznaczny z brakiem takich stanów w cząstce, w której pęd i współrzędne byłyby jednocześnie scharakteryzowane przez dokładne wartości. Rzeczywiście, nie ma sensu mówić o „długości”fala w pewnym punkcie”, a ponieważ pęd jest powiązany z długością fali zależnością de Brogliego p=h/λ, cząstka o określonym pędzie nie ma określonej współrzędnej. W związku z tym, jeśli mikroobiekt ma dokładną współrzędną, pęd staje się całkowicie nieokreślony.
Niepewność i działanie w mikro i makro świecie
Fizyczne działanie cząstki wyraża się w postaci fazy fali prawdopodobieństwa o współczynniku ħ=h/2π. W konsekwencji działanie, jako faza kontrolująca amplitudę fali, jest związane ze wszystkimi możliwymi trajektoriami, a niepewność probabilistyczna w odniesieniu do parametrów tworzących trajektorię jest zasadniczo nieusuwalna.
Działanie jest proporcjonalne do pozycji i pędu. Wartość tę można również przedstawić jako różnicę między energią kinetyczną i potencjalną, całkowaną w czasie. Krótko mówiąc, działanie jest miarą tego, jak ruch cząstki zmienia się w czasie i zależy częściowo od jej masy.
Jeżeli działanie znacznie przekracza stałą Plancka, najbardziej prawdopodobna jest trajektoria wyznaczona przez taką amplitudę prawdopodobieństwa, która odpowiada najmniejszemu działaniu. Relacja niepewności Heisenberga krótko wyraża to samo, jeśli zostanie zmodyfikowana w celu uwzględnienia, że pęd jest równy iloczynowi masy m i prędkości v: Δx∙Δvx ≧ ħ/m. Natychmiast staje się jasne, że wraz ze wzrostem masy obiektu niepewności stają się coraz mniejsze, a opisując ruch ciał makroskopowych, mechanika klasyczna ma całkiem zastosowanie.
Energia i czas
Zasada nieoznaczoności obowiązuje również dla innych wielkości sprzężonych reprezentujących dynamiczne charakterystyki cząstek. Są to w szczególności energia i czas. One również, jak już wspomniano, określają akcję.
Zależność nieoznaczoności energii od czasu ma postać ΔE∙Δt ≧ ħ i pokazuje, w jaki sposób dokładność wartości energii cząstki ΔE i przedziału czasu Δt, w którym energia ta musi być oszacowana, są powiązane. Nie można zatem twierdzić, że cząsteczka może mieć ściśle określoną energię w określonym momencie czasu. Im krótszy okres Δt rozważymy, tym większe będą wahania energii cząstki.
Elektron w atomie
Można oszacować, korzystając z zależności niepewności, szerokość poziomu energetycznego np. atomu wodoru, czyli rozrzut wartości energii elektronu w nim. W stanie podstawowym, gdy elektron jest na najniższym poziomie, atom może istnieć w nieskończoność, czyli Δt→∞ i odpowiednio ΔE przyjmuje wartość zerową. W stanie wzbudzonym atom pozostaje tylko przez pewien skończony czas rzędu 10-8 s, co oznacza, że ma niepewność energetyczną ΔE=ħ/Δt ≈ (1, 05 ∙10- 34 J∙s)/(10-8 s) ≈ 10-26 J, czyli około 7∙10 -8 eV. Konsekwencją tego jest niepewność częstotliwości emitowanego fotonu Δν=ΔE/ħ, która objawia się obecnością niektórych linii widmowychrozmycie i tzw. naturalna szerokość.
Możemy też za pomocą prostych obliczeń, korzystając z zależności niepewności, oszacować zarówno szerokość rozproszenia współrzędnych elektronu przechodzącego przez otwór w przeszkodzie, jak i minimalne wymiary atomu oraz wartość najniższy poziom energii. Wskaźnik wyprowadzony przez W. Heisenberga pomaga w rozwiązaniu wielu problemów.
Filozoficzne rozumienie zasady nieoznaczoności
Obecność niepewności jest często błędnie interpretowana jako dowód całkowitego chaosu rzekomo panującego w mikrokosmosie. Ale ich stosunek mówi nam coś zupełnie innego: zawsze mówiąc w parach, wydają się nakładać na siebie całkowicie naturalne ograniczenie.
Współczynnik, łączący wzajemnie niepewności parametrów dynamicznych, jest naturalną konsekwencją podwójnej – korpuskularno-falowej – natury materii. Stał się więc podstawą idei wysuniętej przez N. Bohra w celu interpretacji formalizmu mechaniki kwantowej – zasady komplementarności. Wszelkie informacje o zachowaniu obiektów kwantowych możemy uzyskać jedynie za pomocą instrumentów makroskopowych i nieuchronnie jesteśmy zmuszeni do korzystania z aparatu pojęciowego opracowanego w ramach fizyki klasycznej. Mamy więc możliwość zbadania albo właściwości falowych takich obiektów, albo korpuskularnych, ale nigdy obu jednocześnie. Ze względu na tę okoliczność musimy uważać je nie za sprzeczne, ale za komplementarne względem siebie. Prosty wzór na relację niepewnościwskazuje nam granice, w pobliżu których konieczne jest uwzględnienie zasady komplementarności dla adekwatnego opisu rzeczywistości kwantowomechanicznej.
