Kinematyka jest częścią fizyki, która uwzględnia prawa ruchu ciał. Jego różnica w stosunku do dynamiki polega na tym, że nie uwzględnia sił działających na poruszające się ciało. Artykuł poświęcony jest zagadnieniu kinematyki ruchu obrotowego.
Ruch obrotowy i jego różnica w stosunku do ruchu do przodu
Jeśli zwrócisz uwagę na otaczające poruszające się obiekty, zobaczysz, że poruszają się one albo w linii prostej (samochód jedzie po drodze, samolot leci po niebie), albo po okręgu (samochód samo auto wjeżdżające w zakręt, obrót koła). Bardziej złożone typy ruchu obiektów można zredukować, w pierwszym przybliżeniu, do kombinacji dwóch wymienionych typów.
Ruch progresywny polega na zmianie współrzędnych przestrzennych ciała. W tym przypadku jest często uważany za punkt materialny (wymiary geometryczne nie są brane pod uwagę).
Ruch obrotowy to rodzaj ruchu, w którymsystem porusza się po okręgu wokół jakiejś osi. Co więcej, obiekt w tym przypadku rzadko jest uważany za punkt materialny, najczęściej stosuje się inne przybliżenie - ciało absolutnie sztywne. To ostatnie oznacza, że pomija się siły sprężyste działające między atomami ciała i zakłada się, że wymiary geometryczne układu nie zmieniają się podczas obrotu. Najprostszym przypadkiem jest oś stała.
Kinematyka ruchu postępowego i obrotowego podlega tym samym prawom Newtona. Podobne wielkości fizyczne są używane do opisania obu rodzajów ruchu.
Jakie wielkości opisują ruch w fizyce?
Kinematyka ruchu obrotowego i translacyjnego wykorzystuje trzy podstawowe wielkości:
- Przebyta ścieżka. Oznaczymy to literą L dla translacyjnego i θ - dla ruchu obrotowego.
- Prędkość. Dla przypadku liniowego jest zwykle pisany łacińską literą v, dla ruchu po torze kołowym - grecką literą ω.
- Przyspieszenie. W przypadku toru liniowego i kołowego używane są odpowiednio symbole a i α.
Często używane jest również pojęcie trajektorii. Ale dla rodzajów ruchu rozważanych obiektów koncepcja ta staje się banalna, ponieważ ruch translacyjny charakteryzuje się trajektorią liniową, a obrotowy - kołem.
Prędkości liniowe i kątowe
Zacznijmy od kinematyki ruchu obrotowego punktu materialnegopatrząc od koncepcji prędkości. Wiadomo, że dla ruchu postępowego ciał wartość ta opisuje, jaka droga zostanie pokonana w jednostce czasu, czyli:
v=L / t
V jest mierzony w metrach na sekundę. W przypadku obrotu niewygodne jest uwzględnienie tej prędkości liniowej, ponieważ zależy ona od odległości od osi obrotu. Wprowadzono nieco inną charakterystykę:
ω=θ / t
Jest to jeden z głównych wzorów kinematyki ruchu obrotowego. Pokazuje pod jakim kątem θ cały układ obróci się wokół stałej osi w czasie t.
Oba powyższe wzory odzwierciedlają ten sam proces fizyczny związany z prędkością poruszania się. Tylko w przypadku liniowym ważna jest odległość, a w przypadku kołowym kąt obrotu.
Obie formuły współdziałają ze sobą. Zdobądźmy to połączenie. Jeżeli wyrażamy θ w radianach, to punkt materialny obracający się w odległości R od osi, po wykonaniu jednego obrotu, przebędzie drogę L=2piR. Wyrażenie na prędkość liniową przyjmie postać:
v=L / t=2piR / t
Ale stosunek 2pi radianów do czasu t to nic innego jak prędkość kątowa. Następnie otrzymujemy:
v=ωR
Widać stąd, że im większa prędkość liniowa v i im mniejszy promień obrotu R, tym większa prędkość kątowa ω.
Przyspieszenie liniowe i kątowe
Kolejną ważną cechą kinematyki ruchu obrotowego punktu materialnego jest przyspieszenie kątowe. Zanim go poznamy, spójrzmywzór na podobną wartość liniową:
1) a=dv / dt
2) a=Δv / Δt
Pierwsze wyrażenie odzwierciedla przyspieszenie chwilowe (dt ->0), podczas gdy druga formuła jest odpowiednia, jeśli prędkość zmienia się równomiernie w czasie Δt. Przyspieszenie uzyskane w drugim wariancie nazywa się średnim.
Biorąc pod uwagę podobieństwo wielkości opisujących ruch liniowy i obrotowy, dla przyspieszenia kątowego możemy napisać:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
Interpretacja tych wzorów jest dokładnie taka sama jak w przypadku liniowym. Jedyna różnica polega na tym, że a pokazuje, o ile metrów na sekundę zmienia się prędkość w jednostce czasu, a α pokazuje, o ile radianów na sekundę zmienia się prędkość kątowa w tym samym okresie czasu.
Znajdźmy związek między tymi przyspieszeniami. Podstawiając wartość v, wyrażoną jako ω, do jednej z dwóch równości dla α, otrzymujemy:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
Z tego wynika, że im mniejszy promień obrotu i im większe przyspieszenie liniowe, tym większa wartość α.
Przebyta odległość i kąt skrętu
Pozostaje podanie wzorów na ostatnią z trzech podstawowych wielkości w kinematyce ruchu obrotowego wokół ustalonej osi - na kąt obrotu. Podobnie jak w poprzednich akapitach, najpierw zapisujemy wzór na jednostajnie przyspieszony ruch prostoliniowy, mamy:
L=v0 t + a t2 / 2
Pełna analogia z ruchem obrotowym prowadzi do następującego wzoru:
θ=ω0 t + αt2 /2
Ostatnie wyrażenie pozwala uzyskać kąt obrotu dla dowolnego czasu t. Zauważ, że obwód wynosi 2pi radianów (≈ 6,3 radianów). Jeżeli w wyniku rozwiązania problemu wartość θ jest większa od podanej wartości, to ciało wykonało więcej niż jeden obrót wokół osi.
Wzór na zależność między L i θ otrzymuje się przez podstawienie odpowiednich wartości dla ω0i α przez charakterystykę liniową:
θ=v0 t / R + at2 / (2R)=L /R
Wyrażenie wynikowe odzwierciedla znaczenie samego kąta θ w radianach. Jeśli θ=1 rad, to L=R, to znaczy kąt jednego radiana spoczywa na łuku o długości jednego promienia.
Przykład rozwiązywania problemów
Rozwiążmy następujący problem kinematyki obrotowej: wiemy, że samochód porusza się z prędkością 70 km/h. Wiedząc, że średnica jego koła wynosi D=0,4 metra, konieczne jest określenie dla niego wartości ω, a także liczby obrotów, które wykona, gdy samochód przejedzie dystans 1 kilometra.
Aby znaleźć prędkość kątową, wystarczy wstawić znane dane do wzoru na powiązanie jej z prędkością liniową, otrzymujemy:
ω=v / R=7104 /3600 / 0, 2=97, 222 rad/s.
Podobnie dla kąta θ, do którego skręca koło po przejechaniu1 km, otrzymujemy:
θ=L / R=1000 / 0, 2=5000 rad.
Zakładając, że jeden obrót to 6,2832 radiany, otrzymujemy liczbę obrotów koła odpowiadającą temu kątowi:
n=θ / 6, 2832=5000 / 6, 2832=795, 77 obrotów.
Odpowiedzieliśmy na pytania, korzystając ze wzorów zawartych w artykule. Można było też rozwiązać problem w inny sposób: obliczyć czas, w którym samochód przejedzie 1 km, i podstawić go do wzoru na kąt obrotu, z którego otrzymamy prędkość kątową ω. Znaleziono odpowiedź.
