Macierze i wyznaczniki odkryto w XVIII i XIX wieku. Początkowo ich rozwój dotyczył transformacji obiektów geometrycznych i rozwiązywania układów równań liniowych. Historycznie wczesny nacisk kładziono na wyznacznik. W nowoczesnych metodach przetwarzania algebry liniowej macierze są brane pod uwagę jako pierwsze. Warto chwilę zastanowić się nad tym pytaniem.
Odpowiedzi z tego obszaru wiedzy
Macierze zapewniają teoretycznie i praktycznie użyteczny sposób rozwiązywania wielu problemów, takich jak:
- układy równań liniowych;
- równowaga ciał stałych (w fizyce);
- teoria wykresów;
- Model ekonomiczny Leontiefa;
- leśnictwo;
- grafika komputerowa i tomografia;
- genetyka;
- kryptografia;
- sieci elektryczne;
- fraktal.
W rzeczywistości algebra macierzowa dla "manekinów" ma uproszczoną definicję. Wyraża się to następująco: jest to naukowa dziedzina wiedzy, w którejomawiane wartości są badane, analizowane i w pełni badane. W tej części algebry badane są różne operacje na badanych macierzach.
Jak pracować z matrycami
Te wartości są uważane za równe, jeśli mają te same wymiary, a każdy element jednego jest równy odpowiadającemu elementowi drugiego. Istnieje możliwość pomnożenia macierzy przez dowolną stałą. To dane nazywa się mnożeniem przez skalar. Przykład: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Macierze tego samego rozmiaru można dodawać i odejmować przez dane wejściowe, a wartości zgodnych rozmiarów można mnożyć. Przykład: dodaj dwa A i B: A=[21−10]B=[1423]. Jest to możliwe, ponieważ A i B są macierzami z dwoma wierszami i taką samą liczbą kolumn. Należy dodać każdy element w A do odpowiedniego elementu w B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Macierze są odejmowane w ten sam sposób w algebrze.
Mnożenie macierzy działa trochę inaczej. Co więcej, może istnieć wiele przypadków i opcji, a także rozwiązań. Jeśli pomnożymy macierz Apq i Bmn, to iloczyn Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Wpis w g-tym wierszu i h-tej kolumnie AB jest sumą iloczynu odpowiednich wpisów w g A i h B. Pomnożenie dwóch macierzy jest możliwe tylko wtedy, gdy liczba kolumn w pierwszym i wierszy w drugim są równe. Przykład: spełnij warunek dla rozważanych A i B: A=[1−130]B=[2−11214]. Jest to możliwe, ponieważ pierwsza macierz zawiera 2 kolumny, a druga 2 wiersze. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Podstawowe informacje o matrycach
Wartości, o których mowa, organizują informacje, takie jak zmienne i stałe, i przechowują je w wierszach i kolumnach, zwykle nazywanych C. Każda pozycja w macierzy nazywana jest elementem. Przykład: C=[1234]. Składa się z dwóch rzędów i dwóch kolumn. Element 4 znajduje się w wierszu 2 i kolumnie 2. Zazwyczaj można nazwać macierz po jej wymiarach, ta o nazwie Cmk ma m wierszy i k kolumn.
Rozszerzone macierze
Rozważania to niezwykle przydatne rzeczy, które pojawiają się w wielu różnych obszarach zastosowań. Macierze były pierwotnie oparte na układach równań liniowych. Biorąc pod uwagę następującą strukturę nierówności, należy wziąć pod uwagę następującą uzupełnioną macierz:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Zapisz współczynniki i wartości odpowiedzi, w tym wszystkie znaki minus. Jeśli element z liczbą ujemną, to będzie równy „1”. Oznacza to, że przy danym układzie równań (liniowych) można z nim powiązać macierz (siatkę liczb w nawiasach). To ten, który zawiera tylko współczynniki układu liniowego. Nazywa się to „macierzą rozszerzoną”. Siatka zawierająca współczynniki z lewej strony każdego równania została „dopełniona” odpowiedziami z prawej strony każdego równania.
Rekordy, to znaczywartości B macierzy odpowiadają wartościom x-, y- i z w pierwotnym systemie. Jeśli jest właściwie ułożony, to przede wszystkim sprawdź. Czasami trzeba zmienić kolejność terminów lub wstawić zera jako symbole zastępcze w badanej lub badanej macierzy.
Biorąc pod uwagę następujący układ równań, możemy natychmiast zapisać powiązaną macierz rozszerzoną:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Najpierw należy zmienić układ systemu jako:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Wtedy można zapisać powiązaną macierz jako: [11000113-1012]. Tworząc jedynkę rozszerzoną, warto używać zera dla każdego rekordu, w którym odpowiadające mu miejsce w układzie równań liniowych jest puste.
Algebra macierzy: właściwości operacji
Jeżeli konieczne jest formowanie elementów tylko z wartości współczynników, wówczas rozważana wartość będzie wyglądać następująco: [110011-101]. Nazywa się to „macierzą współczynników”.
Biorąc pod uwagę poniższą rozszerzoną algebrę macierzową, konieczne jest jej udoskonalenie i dodanie związanego z nią systemu liniowego. Biorąc to pod uwagę, ważne jest, aby pamiętać, że wymagają one, aby zmienne były dobrze ułożone i schludne. I zwykle, gdy istnieją trzy zmienne, użyj x, y i z w tej kolejności. Dlatego powiązany system liniowy powinien być:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Rozmiar matrycy
Przedmioty, o których mowa, są często określane przez ich wydajność. Wielkość macierzy w algebrze jest podawana jakopomiary, ponieważ pokój można nazwać inaczej. Mierzonymi miarami wartości są wiersze i kolumny, a nie szerokość i długość. Na przykład macierz A:
[1234]
[2345]
[3456].
Ponieważ A ma trzy rzędy i cztery kolumny, rozmiar A to 3 × 4.
→
↓
Linie biegną na boki. Kolumny poruszają się w górę iw dół. „Wiersz” i „kolumna” to specyfikacje i nie można ich używać zamiennie. Rozmiary macierzy są zawsze określane liczbą wierszy, a następnie liczbą kolumn. Zgodnie z tą konwencją, następujące B:
[123]
[234] to 2 × 3. Jeśli macierz ma taką samą liczbę wierszy jak kolumny, nazywa się ją „kwadratem”. Na przykład wartości współczynników z góry:
[110]
[011]
[-101] to macierz kwadratowa 3×3.
Zapis i formatowanie macierzy
Uwaga dotycząca formatowania: Na przykład, gdy musisz napisać macierz, ważne jest, aby użyć nawiasów . Słupki wartości bezwzględnych || nie są używane, ponieważ w tym kontekście mają inny kierunek. Nawiasy lub nawiasy klamrowe {} nigdy nie są używane. Lub jakiś inny symbol grupujący lub wcale, ponieważ te prezentacje nie mają żadnego znaczenia. W algebrze macierz zawsze znajduje się w nawiasach kwadratowych. Należy używać tylko poprawnej notacji, w przeciwnym razie odpowiedzi mogą zostać uznane za zniekształcone.
Jak wspomniano wcześniej, wartości zawarte w macierzy nazywane są rekordami. Z jakiegoś powodu elementy, o których mowa, są zwykle napisaneWielkie litery, takie jak A lub B, oraz wpisy są określane przy użyciu odpowiednich małych liter, ale z indeksami dolnymi. W macierzy A wartości są zwykle nazywane „ai, j”, gdzie i jest wierszem A, a j jest kolumną A. Na przykład a3, 2=8. Wpis dla a1, 3 to 3.
W przypadku mniejszych macierzy, zawierających mniej niż dziesięć wierszy i kolumn, przecinek indeksu dolnego jest czasami pomijany. Na przykład „a1, 3=3” można zapisać jako „a13=3”. Oczywiście nie zadziała to w przypadku dużych macierzy, ponieważ a213 będzie niejasne.
Typy macierzy
Czasami klasyfikowane według ich konfiguracji rekordów. Na przykład taka macierz, w której wszystkie wpisy zerowe znajdują się poniżej przekątnej „przekątnej” góra-lewy-dolny-prawy, nazywana jest górnym trójkątem. Między innymi mogą istnieć inne rodzaje i typy, ale nie są one zbyt przydatne. Generalnie najczęściej postrzegany jako trójkątny górny. Wartości z niezerowymi wykładnikami tylko w poziomie nazywane są wartościami przekątnymi. Podobne typy mają niezerowe wpisy, w których wszystkie są równe 1, takie odpowiedzi są nazywane identycznymi (z powodów, które staną się jasne, gdy nauczysz się i zrozumiesz, jak mnożyć dane wartości). Istnieje wiele podobnych wskaźników badawczych. Tożsamość 3 × 3 jest oznaczona przez I3. Podobnie tożsamość 4 × 4 to I4.
Algebra macierzy i przestrzenie liniowe
Zauważ, że macierze trójkątne są kwadratowe. Ale przekątne są trójkątne. W związku z tym sąkwadrat. A tożsamości są uważane za przekątne, a zatem trójkątne i kwadratowe. Gdy wymagane jest opisanie macierzy, zwykle po prostu określa się swoją najbardziej szczegółową klasyfikację, ponieważ implikuje to wszystkie pozostałe. Sklasyfikuj następujące opcje badawcze:jako 3 × 4. W tym przypadku nie są kwadratowe. Dlatego wartości nie mogą być niczym innym. Poniższa klasyfikacja:jest możliwa jako 3 × 3. Ale jest uważana za kwadrat i nie ma w tym nic szczególnego. Klasyfikacja następujących danych:jako 3 × 3 górny trójkąt, ale nie jest to przekątna. To prawda, że w rozważanych wartościach mogą występować dodatkowe zera na zlokalizowanej i wskazanej przestrzeni lub nad nią. Analizowana klasyfikacja jest dalej: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], gdzie jest reprezentowana jako przekątna, a ponadto wszystkie wpisy są równe 1. Wtedy jest to identyczność 3 × 3, I3.
Ponieważ analogiczne macierze są z definicji kwadratowe, wystarczy użyć jednego indeksu, aby znaleźć ich wymiary. Aby dwie macierze były równe, muszą mieć ten sam parametr i mieć te same wpisy w tych samych miejscach. Załóżmy na przykład, że rozważane są dwa elementy: A=[1 3 0] [-2 0 0] i B=[1 3] [-20]. Wartości te nie mogą być takie same, ponieważ różnią się rozmiarem.
Nawet jeśli A i B to: A=[3 6] [2 5] [1 4] i B=[1 2 3] [4 5 6] - nadal nie są takie same ta sama rzecz. A i B mająsześć wpisów i również mają te same numery, ale to za mało dla macierzy. A to 3 x 2. A B to macierz 2 x 3. A dla 3 x 2 to nie 2 x 3. Nie ma znaczenia, czy A i B mają taką samą ilość danych lub nawet te same liczby co rekordy. Jeśli A i B nie mają tego samego rozmiaru i kształtu, ale mają identyczne wartości w podobnych miejscach, nie są równe.
Podobne operacje na rozważanym obszarze
Tę właściwość równości macierzy można przekształcić w zadania dla niezależnych badań. Na przykład podano dwie macierze i zaznaczono, że są one równe. W takim przypadku będziesz musiał użyć tej równości, aby zbadać i uzyskać odpowiedzi na wartości zmiennych.
Przykłady i rozwiązania macierzy w algebrze mogą być różne, szczególnie jeśli chodzi o równości. Biorąc pod uwagę poniższe macierze, konieczne jest znalezienie wartości x i y. Aby A i B były równe, muszą mieć ten sam rozmiar i kształt. W rzeczywistości są takie, bo każda z nich to macierze 2×2. I powinny mieć te same wartości w tych samych miejscach. Wtedy a1, 1 musi być równe b1, 1, a1, 2 musi być równe b1, 2 itd. im). Ale a1, 1=1 oczywiście nie jest równe b1, 1=x. Aby A było identyczne z B, wpis musi mieć a1, 1=b1, 1, więc może wynosić 1=x. Podobnie indeksy a2, 2=b2, 2, więc 4=y. Wtedy rozwiązaniem jest: x=1, y=4. Zakładając, że:macierze są równe, musisz znaleźć wartości x, y i z. Aby mieć A=B, współczynniki muszą mieć równe wszystkie wpisy. Oznacza to, że a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 i tak dalej. W szczególności musi:
4=x
-2=r + 4
3=z / 3.
Jak widać z wybranych macierzy: z 1, 1-, 2, 2- i 3, 1-elementowymi. Rozwiązując te trzy równania, otrzymujemy odpowiedź: x=4, y=-6 i z=9. Algebra macierzowa i operacje na macierzach różnią się od tego, do czego wszyscy są przyzwyczajeni, ale nie są powtarzalne.
Dodatkowe informacje w tym obszarze
Algebra macierzowa liniowa to nauka o podobnych zestawach równań i ich własnościach przekształceń. Ta dziedzina wiedzy pozwala na analizowanie obrotów w przestrzeni, przybliżanie najmniejszych kwadratów, rozwiązywanie powiązanych równań różniczkowych, wyznaczanie okręgu przechodzącego przez trzy zadane punkty oraz rozwiązywanie wielu innych problemów matematycznych, fizycznych i technicznych. Algebra liniowa macierzy nie jest tak naprawdę technicznym sensem użytego słowa, to znaczy przestrzenią wektorową v nad ciałem f itd.
Macierz i wyznacznik to niezwykle przydatne narzędzia do algebry liniowej. Jednym z głównych zadań jest rozwiązanie równania macierzowego Ax=b, dla x. Chociaż teoretycznie można to rozwiązać za pomocą odwrotności x=A-1b. Inne metody, takie jak eliminacja Gaussa, są liczbowo bardziej niezawodne.
Oprócz wykorzystania do opisania badania liniowych zestawów równań, określonypowyższy termin jest również używany do opisania pewnego typu algebry. W szczególności L nad ciałem F ma strukturę pierścienia ze wszystkimi zwykłymi aksjomatami dla wewnętrznego dodawania i mnożenia, wraz z prawami rozdzielności. Dlatego nadaje mu więcej struktury niż pierścionek. Algebra macierzowa liniowa dopuszcza również zewnętrzną operację mnożenia przez skalary, które są elementami podstawowego ciała F. Na przykład zbiór wszystkich rozważanych przekształceń z przestrzeni wektorowej V do siebie nad ciałem F jest tworzony na F. Inny przykład liniowej algebra to zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy kwadratowych nad ciałem R liczb rzeczywistych.
