Macierze: metoda Gaussa. Obliczanie macierzy Gaussa: przykłady

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 05:38

Algebra liniowa, którą wykłada się na uniwersytetach w różnych specjalnościach, łączy wiele złożonych zagadnień. Niektóre z nich dotyczą macierzy, a także rozwiązywania układów równań liniowych metodami Gaussa i Gaussa-Jordana. Nie wszystkim studentom udaje się zrozumieć te tematy, algorytmy rozwiązywania różnych problemów. Zrozummy razem macierze i metody Gaussa i Gaussa-Jordana.

Podstawowe koncepcje

Macierz w algebrze liniowej to prostokątna tablica elementów (tabela). Poniżej znajdują się zestawy elementów ujęte w nawiasy. To są macierze. Z powyższego przykładu widać, że elementy w tablicach prostokątnych to nie tylko liczby. Macierz może składać się z funkcji matematycznych, symboli algebraicznych.

Aby zrozumieć niektóre koncepcje, stwórzmy macierz A z elementów a_ij. Indeksy to nie tylko litery: i to numer wiersza w tabeli, a j to numer kolumny, w obszarze przecięcia, w którym znajduje się elementa_ij. Widzimy więc, że mamy macierz elementów takich jak a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ itd. Litera n oznacza liczbę kolumn, a litera m oznacza liczbę rzędów. Symbol m × n oznacza wymiar macierzy. Jest to koncepcja, która definiuje liczbę wierszy i kolumn w prostokątnej tablicy elementów.

Opcjonalnie macierz musi mieć kilka kolumn i wierszy. Przy wymiarze 1 × n tablica elementów jest jednowierszowa, a przy wymiarze m × 1 jest to tablica jednokolumnowa. Gdy liczba wierszy i liczba kolumn są równe, macierz nazywa się kwadratową. Każda macierz kwadratowa ma wyznacznik (det A). Termin ten odnosi się do numeru przypisanego do macierzy A.

Kilka ważniejszych pojęć, o których należy pamiętać, aby skutecznie rozwiązywać macierze, to przekątna główna i podrzędna. Główna przekątna matrycy to przekątna, która schodzi do prawego rogu stołu od lewego górnego rogu. Boczna przekątna przechodzi w prawy róg w górę od lewego rogu od dołu.

Widok macierzy schodkowej

Spójrz na zdjęcie poniżej. Zobaczysz na nim matrycę i diagram. Zajmijmy się najpierw macierzą. W algebrze liniowej tego rodzaju macierz nazywa się macierzą schodkową. Ma jedną właściwość: jeśli a_ij jest pierwszym niezerowym elementem w i-tym wierszu, to wszystkie inne elementy z macierzy poniżej i na lewo od a_ij , są puste (tzn. wszystkie te elementy, którym można nadać oznaczenie literowe a_kl, gdzie k>i il<j).

Teraz rozważ diagram. Odzwierciedla schodkową formę matrycy. Schemat pokazuje 3 rodzaje komórek. Każdy typ oznacza pewne elementy:

• puste komórki - zero elementów macierzy;
• zacienione komórki to dowolne elementy, które mogą być zarówno zerowe, jak i niezerowe;
• czarne kwadraty to niezerowe elementy, które nazywamy elementami narożnymi, „krokami” (w macierzy obok nich takimi elementami są liczby –1, 5, 3, 8).

Podczas rozwiązywania macierzy czasami wynik jest taki, że „długość” kroku jest większa niż 1. Jest to dozwolone. Liczy się tylko „wysokość” schodów. W macierzy kroków ten parametr musi być zawsze równy jeden.

Redukcja macierzy do postaci schodkowej

Każdą macierz prostokątną można przekształcić w formę schodkową. Odbywa się to poprzez podstawowe przekształcenia. Obejmują one:

• przestawianie ciągów;
• Dodanie kolejnego wiersza do jednego wiersza, w razie potrzeby pomnożonego przez pewną liczbę (możesz również wykonać operację odejmowania).

Rozważmy elementarne przekształcenia w rozwiązaniu konkretnego problemu. Poniższy rysunek przedstawia macierz A, którą należy zredukować do postaci schodkowej.

W celu rozwiązania problemu zastosujemy algorytm:

• Wygodnie jest wykonywać przekształcenia na macierzy za pomocąpierwszy element w lewym górnym rogu (tj. element „wiodący”) to 1 lub -1. W naszym przypadku pierwszy element w górnym wierszu to 2, więc zamieńmy pierwszy i drugi wiersz.
• Wykonajmy operacje odejmowania, mające wpływ na wiersze 2, 3 i 4. Powinniśmy otrzymać zera w pierwszej kolumnie pod elementem „wiodący”. Aby osiągnąć ten wynik: od elementów linii nr 2 sekwencyjnie odejmujemy elementy linii nr 1 pomnożone przez 2; od elementów linii nr 3 kolejno odejmujemy elementy linii nr 1 pomnożone przez 4; od elementów linii nr 4 kolejno odejmujemy elementy linii nr 1.
• Następnie będziemy pracować z obciętą macierzą (bez kolumny nr 1 i bez wiersza nr 1). Nowy „wiodący” element, stojący na przecięciu drugiej kolumny i drugiego rzędu, wynosi -1. Nie ma potrzeby przestawiania wierszy, więc przepisujemy pierwszą kolumnę oraz pierwszy i drugi wiersz bez zmian. Wykonajmy operacje odejmowania, aby uzyskać zera w drugiej kolumnie pod elementem „wiodącym”: od elementów trzeciego wiersza kolejno odejmujemy elementy drugiego wiersza pomnożone przez 3; odejmij elementy drugiego wiersza pomnożone przez 2 od elementów czwartego wiersza.
• Pozostaje zmienić ostatnią linię. Od jego elementów odejmujemy kolejno elementy trzeciego rzędu. W ten sposób otrzymaliśmy macierz schodkową.

Redukcja macierzy do postaci krokowej jest stosowana w rozwiązywaniu układów równań liniowych (SLE) metodą Gaussa. Zanim przyjrzymy się tej metodzie, zrozumiemy niektóre terminy związane z SLN.

Macierze i układy równań liniowych

Macierze są używane w różnych naukach. Korzystając z tablic liczbowych, można na przykład rozwiązywać równania liniowe połączone w układ metodą Gaussa. Najpierw zapoznajmy się z kilkoma pojęciami i ich definicjami, a także zobaczmy, jak powstaje macierz z układu łączącego kilka równań liniowych.

SLU – kilka połączonych równań algebraicznych z pierwszymi niewiadomymi potęgowymi i bez wyrazów iloczynowych.

Rozwiązanie SLE – znalezione wartości niewiadomych, zastępując które równania w systemie stają się tożsamościami.

Wspólny SLE to układ równań, który ma co najmniej jedno rozwiązanie.

Niespójny SLE to układ równań, który nie ma rozwiązań.

Jak powstaje macierz oparta na układzie, który łączy równania liniowe? Istnieją takie pojęcia, jak główna i rozszerzona macierz systemu. Aby otrzymać główną macierz układu, należy umieścić w tabeli wszystkie współczynniki dla niewiadomych. Rozwiniętą macierz uzyskuje się przez dodanie kolumny wyrazów swobodnych do macierzy głównej (zawiera ona znane elementy, z którymi przyrównane jest każde równanie w systemie). Możesz zrozumieć cały ten proces, studiując poniższy obrazek.

Pierwszą rzeczą, jaką widzimy na obrazku, jest układ zawierający równania liniowe. Jego elementy: a_ij – współczynniki liczbowe, x_j – wartości nieznane, b_i – wyrazy stałe (gdzie i=1, 2, …, m i j=1, 2, …, n). Drugim elementem na rysunku jest główna macierz współczynników. Z każdego równania współczynniki są zapisywane w rzędzie. W rezultacie w macierzy jest tyle wierszy, ile równań w systemie. Liczba kolumn jest równa największej liczbie współczynników w dowolnym równaniu. Trzeci element na obrazku to rozszerzona macierz z kolumną wolnych terminów.

Ogólne informacje o metodzie Gaussa

W algebrze liniowej metoda Gaussa jest klasycznym sposobem rozwiązywania SLE. Nosi imię Carla Friedricha Gaussa, żyjącego w XVIII-XIX wieku. To jeden z największych matematyków wszechczasów. Istotą metody Gaussa jest wykonanie przekształceń elementarnych na układzie liniowych równań algebraicznych. Za pomocą przekształceń SLE zostaje zredukowany do równoważnego systemu o formie trójkątnej (schodkowej), z którego można znaleźć wszystkie zmienne.

Warto zauważyć, że Carl Friedrich Gauss nie jest odkrywcą klasycznej metody rozwiązywania układu równań liniowych. Metoda została wynaleziona znacznie wcześniej. Jej pierwszy opis znajduje się w encyklopedii wiedzy starożytnych matematyków chińskich, zatytułowanej „Matematyka w 9 książkach”.

Przykład rozwiązania SLE metodą Gaussa

Rozważmy rozwiązanie systemów metodą Gaussa na konkretnym przykładzie. Będziemy pracować z SLU pokazaną na obrazku.

Algorytm rozwiązywania:

1. Zredukujemy system do postaci schodkowej przez bezpośrednie przeniesienie metody Gaussa, ale najpierwskomponujemy rozszerzoną macierz współczynników numerycznych i wolnych elementów.
2. Aby rozwiązać macierz metodą Gaussa (tzn. doprowadzić ją do postaci schodkowej), od elementów drugiego i trzeciego wiersza kolejno odejmujemy elementy pierwszego wiersza. W pierwszej kolumnie pod elementem „wiodący” otrzymujemy zera. Następnie dla wygody zmienimy drugą i trzecią linię w miejscach. Do elementów ostatniego wiersza dodaj kolejno elementy drugiego wiersza pomnożone przez 3.
3. W wyniku obliczenia macierzy metodą Gaussa otrzymaliśmy schodkową tablicę elementów. Na jej podstawie skomponujemy nowy układ równań liniowych. Odwrotnym przebiegiem metody Gaussa znajdujemy wartości nieznanych terminów. Z ostatniego równania liniowego widać, że x₃ jest równe 1. Wstawiamy tę wartość do drugiego wiersza układu. Otrzymasz równanie x₂ – 4=–4. Wynika z tego, że x₂ równa się 0. Podstaw x₂ i x₃ do pierwszego równania układu: x1 _{+ 0 +3=2. Nieznany termin to -1.}

Odpowiedź: za pomocą macierzy, metody Gaussa, znaleźliśmy wartości niewiadomych; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Metoda Gaussa-Jordana

W algebrze liniowej istnieje również coś takiego jak metoda Gaussa-Jordana. Jest uważany za modyfikację metody Gaussa i służy do znajdowania macierzy odwrotnej, obliczania nieznanych członów układów kwadratowych algebraicznych równań liniowych. Metoda Gaussa-Jordana jest wygodna, ponieważ pozwala rozwiązać SLE w jednym kroku (bez użycia metody bezpośredniej i odwrotnejruchy).

Zacznijmy od terminu „macierz odwrócona”. Załóżmy, że mamy macierz A. Jej odwrotnością będzie macierz A^-1, podczas gdy warunek jest koniecznie spełniony: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, czyli iloczyn tych macierzy jest równy macierzy jednostkowej (elementy głównej przekątnej macierzy jednostkowej są jedynkami, a pozostałe elementy są równe zero).}

Ważny niuans: w algebrze liniowej istnieje twierdzenie o istnieniu macierzy odwrotnej. Warunkiem wystarczającym i koniecznym istnienia macierzy A^-1 jest to, że macierz A jest nieosobliwa.

Podstawowe kroki, na których opiera się metoda Gaussa-Jordana:

1. Spójrz na pierwszy wiersz określonej macierzy. Metodę Gaussa-Jordana można uruchomić, jeśli pierwsza wartość nie jest równa zeru. Jeśli pierwsze miejsce to 0, zamień wiersze tak, aby pierwszy element miał wartość niezerową (pożądane jest, aby liczba była bliższa jedności).
2. Podziel wszystkie elementy pierwszego rzędu przez pierwszą liczbę. Otrzymasz ciąg, który zaczyna się od 1.
3. Od drugiej linii odejmij pierwszą linię pomnożoną przez pierwszy element drugiej linii, czyli na końcu otrzymasz linię, która zaczyna się od zera. Zrób to samo dla pozostałych linii. Podziel każdą linię przez jej pierwszy niezerowy element, aby uzyskać jedynki po przekątnej.
4. W rezultacie otrzymasz górną macierz trójkątną za pomocą metody Gaussa - Jordana. W nim główna przekątna jest reprezentowana przez jednostki. Dolny róg jest wypełniony zerami igórny róg - różne wartości.
5. Od przedostatniej linii odejmij ostatnią linię pomnożoną przez wymagany współczynnik. Powinieneś otrzymać ciąg z zerami i jedynką. Dla pozostałych linii powtórz tę samą czynność. Po wszystkich przekształceniach uzyskamy macierz jednostkową.

Przykład znajdowania macierzy odwrotnej za pomocą metody Gaussa-Jordana

Aby obliczyć macierz odwrotną, musisz napisać macierz rozszerzoną A|E i wykonać niezbędne przekształcenia. Rozważmy prosty przykład. Poniższy rysunek przedstawia macierz A.

Rozwiązanie:

1. Najpierw znajdźmy wyznacznik macierzy za pomocą metody Gaussa (det A). Jeśli ten parametr nie jest równy zero, to macierz zostanie uznana za nieosobliwą. To pozwoli nam stwierdzić, że A na pewno ma A^-1. Aby obliczyć wyznacznik, przekształcamy macierz do postaci krokowej za pomocą przekształceń elementarnych. Policzmy liczbę K równą liczbie permutacji wierszy. Zmieniliśmy linie tylko 1 raz. Obliczmy wyznacznik. Jego wartość będzie równa iloczynowi elementów głównej przekątnej pomnożonej przez (–1)^K. Wynik obliczeń: det A=2.
2. Skomponuj macierz rozszerzoną, dodając macierz jednostkową do macierzy oryginalnej. Otrzymana tablica elementów zostanie użyta do znalezienia macierzy odwrotnej metodą Gaussa-Jordana.
3. Pierwszy element w pierwszym wierszu jest równy jeden. To nam odpowiada, ponieważ nie ma potrzeby przestawiania linii i dzielenia danej linii przez jakąś liczbę. Zacznijmy działaćz drugim i trzecim wierszem. Aby zmienić pierwszy element w drugim wierszu na 0, odejmij pierwszy wiersz pomnożony przez 3. Odejmij pierwszy wiersz od trzeciego wiersza (mnożenie nie jest wymagane).
4. W wynikowej macierzy drugi element drugiego wiersza to -4, a drugi element trzeciego wiersza to -1. Zamieńmy wiersze dla wygody. Od trzeciego rzędu odejmij drugi rząd pomnożony przez 4. Podziel drugi rząd przez -1 a trzeci rząd przez 2. Otrzymujemy górną macierz trójkątną.
5. Odejmijmy ostatni wiersz pomnożony przez 4 z drugiego wiersza i ostatni wiersz pomnożony przez 5 od pierwszego wiersza. Następnie odejmij drugi wiersz pomnożony przez 2 od pierwszego wiersza. Po lewej stronie mamy macierz tożsamości. Po prawej stronie znajduje się macierz odwrotna.

Przykład rozwiązania SLE metodą Gaussa-Jordana

Rysunek przedstawia układ równań liniowych. Wymagane jest znalezienie wartości nieznanych zmiennych za pomocą macierzy, metody Gaussa-Jordana.

Rozwiązanie:

1. Stwórzmy rozszerzoną macierz. Aby to zrobić, umieścimy współczynniki i wolne terminy w tabeli.
2. Rozwiąż macierz za pomocą metody Gaussa-Jordana. Od linii nr 2 odejmujemy linię nr 1. Od linii nr 3 odejmujemy linię nr 1, uprzednio pomnożoną przez 2.
3. Zamień wiersze 2 i 3.
4. Od linii 3 odejmij linię 2 pomnożoną przez 2. Podziel wynikową trzecią linię przez –1.
5. Odejmij wiersz 3 od wiersza 2.
6. Odejmij wiersz 1 od wiersza 12 razy -1. Z boku mamy kolumnę składającą się z cyfr 0, 1 i -1. Z tego wnioskujemy, że x₁=0, x₂=1 i x₃ =–1.

Jeśli chcesz, możesz sprawdzić poprawność rozwiązania, zastępując obliczone wartości równaniami:

• 0 – 1=–1, pierwsza tożsamość z systemu jest poprawna;
• 0 + 1 + (–1)=0, druga tożsamość z systemu jest poprawna;
• 0 – 1 + (–1)=–2, trzecia tożsamość z systemu jest poprawna.

Wniosek: używając metody Gaussa-Jordana, znaleźliśmy prawidłowe rozwiązanie układu kwadratowego, który łączy liniowe równania algebraiczne.

Kalkulatory online

Życie dzisiejszej młodzieży studiującej na uniwersytetach i uczącej się algebry liniowej zostało znacznie uproszczone. Kilka lat temu musieliśmy samodzielnie znaleźć rozwiązania dla systemów wykorzystujących metodę Gaussa i Gaussa-Jordana. Niektórzy uczniowie z powodzeniem radzili sobie z zadaniami, podczas gdy inni pomylili się w rozwiązaniu, popełniali błędy, prosili kolegów z klasy o pomoc. Dziś podczas odrabiania lekcji możesz korzystać z kalkulatorów online. Aby rozwiązywać układy równań liniowych, szukać macierzy odwrotnych, napisano programy, które pokazują nie tylko poprawne odpowiedzi, ale także pokazują postęp w rozwiązaniu konkretnego problemu.

W Internecie dostępnych jest wiele zasobów z wbudowanymi kalkulatorami online. Te programy rozwiązują macierze Gaussa, układy równań w kilka sekund. Studenci muszą jedynie określić wymagane parametry (na przykład liczbę równań,liczba zmiennych).