Przy badaniu zachowania gazów w fizyce dużą wagę przywiązuje się do izoprocesów, czyli takich przejść między stanami układu, podczas których zachowany jest jeden parametr termodynamiczny. Zachodzi jednak przemiana gazowa między stanami, która nie jest izoprocesem, ale odgrywa ważną rolę w przyrodzie i technologii. To jest proces adiabatyczny. W tym artykule rozważymy to bardziej szczegółowo, koncentrując się na tym, czym jest wykładnik adiabatyczny gazu.
Proces adiabatyczny
Zgodnie z definicją termodynamiczną przez proces adiabatyczny rozumie się takie przejście między stanem początkowym a końcowym układu, w wyniku którego nie dochodzi do wymiany ciepła między środowiskiem zewnętrznym a badanym układem. Taki proces jest możliwy pod następującymi dwoma warunkami:
- przewodność cieplna między środowiskiem zewnętrznym asystem jest niski z tego czy innego powodu;
- szybkość procesu jest wysoka, więc wymiana ciepła nie ma czasu na zajście.
W inżynierii przejście adiabatyczne jest wykorzystywane zarówno do podgrzewania gazu podczas jego gwałtownego sprężania, jak i do chłodzenia go podczas gwałtownego rozprężania. W przyrodzie przemiana termodynamiczna objawia się, gdy masa powietrza unosi się lub opada w dół zbocza wzgórza. Takie wzloty i upadki prowadzą do zmiany punktu rosy w powietrzu i opadów.
Równanie Poissona dla adiabatycznego gazu doskonałego
Gaz doskonały to system, w którym cząstki poruszają się losowo z dużą prędkością, nie oddziałują ze sobą i są bezwymiarowe. Taki model jest bardzo prosty pod względem opisu matematycznego.
Zgodnie z definicją procesu adiabatycznego zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki można zapisać następujące wyrażenie:
dU=-PdV.
Innymi słowy, gaz, rozszerzając się lub kurcząc, działa PdV ze względu na odpowiednią zmianę jego energii wewnętrznej dU.
W przypadku gazu doskonałego, jeśli użyjemy równania stanu (prawo Clapeyrona-Mendeleeva), otrzymamy następujące wyrażenie:
PVγ=const.
Ta równość nazywa się równaniem Poissona. Osoby zaznajomione z fizyką gazów zauważą, że jeśli wartość γ jest równa 1, to równanie Poissona przejdzie do prawa Boyle-Mariotte (izotermaproces). Jednak taka transformacja równań jest niemożliwa, ponieważ γ dla dowolnego typu gazu doskonałego jest większe niż jeden. Wielkość γ (gamma) nazywana jest indeksem adiabatycznym gazu doskonałego. Przyjrzyjmy się bliżej jego fizycznemu znaczeniu.
Jaki jest wykładnik adiabatyczny?
Wykładnik γ, który pojawia się w równaniu Poissona dla gazu doskonałego, jest stosunkiem pojemności cieplnej przy stałym ciśnieniu do tej samej wartości, ale już przy stałej objętości. W fizyce pojemność cieplna to ilość ciepła, która musi zostać przekazana lub pobrana z danego systemu, aby zmienił swoją temperaturę o 1 kelwin. Izobaryczną pojemność cieplną będziemy oznaczać symbolem CP, a izochoryczną pojemność cieplną symbolem CV. Wtedy równość obowiązuje dla γ:
γ=CP/CV.
Ponieważ γ jest zawsze większe niż jeden, pokazuje to, ile razy izobaryczna pojemność cieplna badanego systemu gazowego przekracza podobną charakterystykę izochoryczną.
Pojemności cieplne CP i CV
Aby wyznaczyć wykładnik adiabatyczny, należy dobrze rozumieć znaczenie wielkości CP i CV. W tym celu przeprowadzimy następujący eksperyment myślowy: wyobraź sobie, że gaz znajduje się w układzie zamkniętym w naczyniu o litych ściankach. Jeśli naczynie jest ogrzewane, wówczas całe przekazywane ciepło będzie idealnie zamienione na energię wewnętrzną gazu. W takiej sytuacji równość będzie obowiązywać:
dU=CVdT.
WartośćCVokreśla ilość ciepła, która musi zostać przekazana do systemu, aby izochorycznie ogrzać go o 1 K.
Załóżmy teraz, że gaz znajduje się w naczyniu z ruchomym tłokiem. W trakcie nagrzewania takiego układu tłok będzie się poruszał, zapewniając utrzymanie stałego ciśnienia. Ponieważ entalpia układu w tym przypadku będzie równa iloczynowi izobarycznej pojemności cieplnej i zmiany temperatury, pierwsza zasada termodynamiki przyjmie postać:
CPdT=CVdT + PdV.
Widać stąd, że CP>CV, ponieważ w przypadku izobarycznej zmiany stanów konieczne jest zużywają ciepło nie tylko na podniesienie temperatury układu, a co za tym idzie jego energii wewnętrznej, ale także na pracę wykonaną przez gaz podczas jego rozprężania.
Wartość γ dla idealnego gazu jednoatomowego
Najprostszym systemem gazowym jest jednoatomowy gaz doskonały. Załóżmy, że mamy 1 mol takiego gazu. Przypomnijmy, że w procesie izobarycznego ogrzewania 1 mola gazu o zaledwie 1 kelwin działa on równy R. Ten symbol jest powszechnie używany do oznaczenia uniwersalnej stałej gazowej. Jest równy 8,314 J / (molK). Stosując ostatnie wyrażenie w poprzednim akapicie dla tego przypadku, otrzymujemy następującą równość:
CP=CV+ R.
Skąd można określić wartość izochorycznej pojemności cieplnej CV:
γ=CP/CV;
CV=R/(γ-1).
Wiadomo, że na jednego kretagaz jednoatomowy, wartość izochorycznej pojemności cieplnej wynosi:
CV=3/2R.
Z ostatnich dwóch równości wynika wartość wykładnika adiabatycznego:
3/2R=R/(γ-1)=>
γ=5/3 ≈ 1, 67.
Zauważ, że wartość γ zależy wyłącznie od wewnętrznych właściwości samego gazu (od wieloatomowej natury jego cząsteczek) i nie zależy od ilości substancji w układzie.
Zależność γ od liczby stopni swobody
Równanie izochorycznej pojemności cieplnej gazu jednoatomowego zostało napisane powyżej. Pojawiający się w nim współczynnik 3/2 jest związany z liczbą stopni swobody w jednym atomie. Ma możliwość poruszania się tylko w jednym z trzech kierunków przestrzeni, to znaczy, że istnieją tylko translacyjne stopnie swobody.
Jeżeli system składa się z cząsteczek dwuatomowych, to do trzech stopni translacyjnych dodawane są jeszcze dwa stopnie rotacji. Dlatego wyrażenie dla CV staje się:
CV=5/2R.
Wtedy wartość γ będzie wynosić:
γ=7/5=1, 4.
Zauważ, że dwuatomowa cząsteczka w rzeczywistości ma jeszcze jeden stopień swobody wibracyjnej, ale w temperaturach kilkuset Kelvinów nie jest aktywowana i nie ma wpływu na pojemność cieplną.
Jeśli cząsteczki gazu składają się z więcej niż dwóch atomów, będą miały 6 stopni swobody. Wykładnik adiabatyczny w tym przypadku będzie równy:
γ=4/3 ≈ 1, 33.
TakZatem wraz ze wzrostem liczby atomów w cząsteczce gazu wartość γ maleje. Jeśli zbudujesz wykres adiabatyczny w osiach P-V, zauważysz, że krzywa dla gazu jednoatomowego będzie zachowywać się ostrzej niż dla gazu wieloatomowego.
Wykładnik adiabatyczny dla mieszaniny gazów
Wykazaliśmy powyżej, że wartość γ nie zależy od składu chemicznego instalacji gazowej. Zależy to jednak od liczby atomów tworzących jego cząsteczki. Załóżmy, że system składa się z N elementów. Udział atomowy składnika i w mieszaninie to ai. Następnie, aby określić wykładnik adiabatyczny mieszaniny, możesz użyć następującego wyrażenia:
γ=∑i=1N(aiγ i).
Gdzie γi jest wartością γ dla i-tego składnika.
Na przykład wyrażenie to może być użyte do określenia γ powietrza. Ponieważ składa się w 99% z dwuatomowych cząsteczek tlenu i azotu, jego wskaźnik adiabatyczny powinien być bardzo bliski wartości 1,4, co potwierdza eksperymentalne wyznaczenie tej wartości.
