Dość często w naukach matematycznych pojawia się wiele trudności i pytań, a wiele odpowiedzi nie zawsze jest jasnych. Żaden wyjątek nie był tematem takim jak liczność zestawów. W rzeczywistości jest to nic innego jak liczbowe wyrażenie liczby obiektów. W sensie ogólnym zbiór jest aksjomatem, nie ma definicji. Opiera się na dowolnych przedmiotach, a raczej ich zbiorze, który może być pusty, skończony lub nieskończony. Ponadto zawiera liczby całkowite lub naturalne, macierze, ciągi, odcinki i proste.
O istniejących zmiennych
Zbiór pusty lub pusty bez wartości wewnętrznej jest uważany za element kardynalny, ponieważ jest podzbiorem. Zbiór wszystkich podzbiorów niepustego zbioru S jest zbiorem zbiorów. Tak więc zbiór potęg danego zbioru jest uważany za wiele, wyobrażalny, ale pojedynczy. Zbiór ten nazywa się zbiorem potęg S i jest oznaczony przez P (S). Jeśli S zawiera N elementów, to P(S) zawiera 2^n podzbiorów, ponieważ podzbiór P(S) to albo ∅ albo podzbiór zawierający r elementów z S, r=1, 2, 3, … Składa się ze wszystkiego, co nieskończonezbiór M nazywamy wielkością mocy i jest symbolicznie oznaczany przez P (M).
Elementy teorii mnogości
Ta dziedzina wiedzy została rozwinięta przez George'a Cantora (1845-1918). Dziś jest używany w prawie wszystkich gałęziach matematyki i służy jako jego podstawowa część. W teorii mnogości elementy są reprezentowane w postaci listy i są podane przez typy (zbiór pusty, singleton, zbiory skończone i nieskończone, równe i równoważne, uniwersalne), sumę, przecięcie, różnicę i dodawanie liczb. W życiu codziennym często mówimy o zbiorze przedmiotów, takich jak pęk kluczy, stado ptaków, paczka kart itp. W piątej klasie matematyki i poza nią występują liczby naturalne, całkowite, pierwsze i złożone.
Następujące zestawy mogą być brane pod uwagę:
- liczby naturalne;
- litery alfabetu;
- kurs podstawowy;
- trójkąty z różnymi bokami.
Widać, że te podane przykłady są dobrze zdefiniowanymi zbiorami obiektów. Rozważ jeszcze kilka przykładów:
- pięciu najbardziej znanych naukowców na świecie;
- siedem pięknych dziewczyn w społeczeństwie;
- trzech najlepszych chirurgów.
Te przykłady kardynalności nie są dobrze zdefiniowanymi zbiorami obiektów, ponieważ kryteria „najsłynniejszego”, „najpiękniejszego”, „najlepszego” różnią się w zależności od osoby.
Zestawy
Ta wartość to dobrze zdefiniowana liczba różnych obiektów. Zakładając, że:
- zestaw słów jest synonimem, agregatem, klasą i zawiera elementy;
- obiekty, członkowie są równymi warunkami;
- zestawy są zwykle oznaczane dużymi literami A, B, C;
- elementy zestawu są reprezentowane przez małe litery a, b, c.
Jeżeli "a" jest elementem zbioru A, to mówi się, że "a" należy do A. Oznaczmy frazę "należy" do greckiego znaku "∈" (epsilon). Okazuje się więc, że a ∈ A. Jeśli 'b' jest elementem, który nie należy do A, jest to reprezentowane jako b ∉ A. Niektóre ważne zbiory używane w matematyce klasy 5 są reprezentowane przy użyciu trzech następujących metod:
- aplikacje;
- rejestry lub tabelaryczne;
- reguła tworzenia formacji.
Po bliższym zbadaniu, formularz wniosku opiera się na następujących kwestiach. W takim przypadku podany jest jasny opis elementów zestawu. Wszystkie są ujęte w kręcone nawiasy klamrowe. Na przykład:
- zestaw liczb nieparzystych mniejszych niż 7 - zapisany jako {mniej niż 7};
- zestaw liczb większych niż 30 i mniejszych niż 55;
- liczba uczniów w klasie, którzy ważą więcej niż nauczyciel.
W formularzu rejestru (tabeli) elementy zbioru są wymienione w nawiasach {} i oddzielone przecinkami. Na przykład:
- Niech N oznacza zbiór pierwszych pięciu liczb naturalnych. Dlatego N=→ formularz rejestru
- Zestaw wszystkich samogłosek alfabetu angielskiego. Stąd V={a, e, i, o, u, y} → formularz rejestru
- Zbiór wszystkich liczb nieparzystych jest mniejszy niż 9. Dlatego X={1, 3, 5, 7} → formarejestr
- Zestaw wszystkich liter w słowie „Matematyka”. Dlatego Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Formularz rejestru
- W to zbiór ostatnich czterech miesięcy roku. Zatem W={wrzesień, październik, listopad, grudzień} → rejestr.
Zauważ, że kolejność, w jakiej elementy są wymienione, nie ma znaczenia, ale nie mogą się powtarzać. Ustalona forma konstrukcji, w danym przypadku reguła, wzór lub operator jest zapisany w parze nawiasów tak, aby zbiór był poprawnie zdefiniowany. W formularzu konstruktora zestawów wszystkie elementy muszą mieć tę samą właściwość, aby stać się członkiem danej wartości.
W tej formie reprezentacji zestawu, element zestawu jest opisany za pomocą znaku „x” lub dowolnej innej zmiennej, po której następuje dwukropek (do wskazania jest używany symbol „:” lub „|”). Na przykład, niech P będzie zbiorem liczb policzalnych większych od 12. P w postaci konstruktora zbiorów jest zapisane jako - {liczba policzalna i większa od 12}. Będzie czytać w określony sposób. Oznacza to, że „P jest zbiorem elementów x takich, że x jest policzalne i większe niż 12.”
Rozwiązany przykład przy użyciu trzech metod reprezentacji zestawów: liczba liczb całkowitych od -2 do 3. Poniżej znajdują się przykłady różnych typów zestawów:
- Pusty lub zerowy zestaw, który nie zawiera żadnego elementu i jest oznaczony symbolem ∅ i jest odczytywany jako phi. W formie listy ∅ jest zapisane {}. Zbiór skończony jest pusty, ponieważ liczba elementów wynosi 0. Na przykład zbiór wartości całkowitych jest mniejszy niż 0.
- Oczywiście nie powinno być <0. Dlatego topusty zestaw.
- Zestaw zawierający tylko jedną zmienną nazywa się zestawem singletonowym. Nie jest ani prosty, ani złożony.
Zbiór skończony
Zbiór zawierający określoną liczbę elementów nazywany jest zbiorem skończonym lub nieskończonym. Pusty odnosi się do pierwszego. Na przykład zestaw wszystkich kolorów tęczy.
Nieskończoność to zestaw. Elementy w nim nie mogą być wyliczone. Oznacza to, że zawieranie podobnych zmiennych nazywa się zbiorem nieskończonym. Przykłady:
- moc zbioru wszystkich punktów na płaszczyźnie;
- zestaw wszystkich liczb pierwszych.
Ale powinieneś zrozumieć, że wszystkie moce połączenia zbioru nie mogą być wyrażone w formie listy. Na przykład liczby rzeczywiste, ponieważ ich elementy nie odpowiadają żadnemu wzorowi.
Liczba kardynalna zbioru to liczba różnych elementów w danej wielkości A. Oznaczona jest jako n (A).
Na przykład:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Dlatego n (A)=4.
- B=zestaw liter w słowie ALGEBRA.
Ekwiwalentne zestawy do porównania zestawów
Dwie mocarstwa zbioru A i B są takie, jeśli ich liczba kardynalna jest taka sama. Symbolem równoważnego zestawu jest „↔”. Na przykład: A B.
Równe zbiory: dwie moce zbiorów A i B, jeśli zawierają te same elementy. Każdy współczynnik z A jest zmienną z B, a każdy z B jest określoną wartością A. Dlatego A=B. Różne rodzaje związków kardynalnych i ich definicje wyjaśniono na przedstawionych przykładach.
Esencja skończoności i nieskończoności
Jakie są różnice między mocą zbioru skończonego i zbioru nieskończonego?
Pierwsza wartość ma następującą nazwę, jeśli jest pusta lub zawiera skończoną liczbę elementów. W skończonym zbiorze można określić zmienną, jeśli ma ograniczoną liczbę. Na przykład, używając liczby naturalnej 1, 2, 3. A proces wyliczania kończy się na pewnym N. Liczba różnych elementów zliczonych w zbiorze skończonym S jest oznaczona przez n (S). Nazywany jest również porządkiem lub kardynałem. Oznaczone symbolicznie zgodnie ze standardową zasadą. Tak więc, jeśli zbiór S jest alfabetem rosyjskim, to zawiera 33 elementy. Należy również pamiętać, że element nie występuje więcej niż raz w zestawie.
Nieskończony w zestawie
Zbiór jest nazywany nieskończonym, jeśli elementów nie można wyliczyć. Jeśli ma nieograniczoną (to znaczy niepoliczalną) liczbę naturalną 1, 2, 3, 4 dla dowolnego n. Zbiór, który nie jest skończony, nazywa się nieskończonym. Możemy teraz omówić przykłady rozważanych wartości liczbowych. Opcje wartości końcowej:
- Niech Q={liczby naturalne mniejsze niż 25}. Wtedy Q jest zbiorem skończonym, a n (P)=24.
- Niech R={liczby całkowite od 5 do 45}. Wtedy R jest zbiorem skończonym, a n (R)=38.
- Niech S={liczby modulo 9}. Wtedy S={-9, 9} jest zbiorem skończonym, a n (S)=2.
- Zbiór wszystkich ludzi.
- Liczba wszystkich ptaków.
Nieskończone przykłady:
- liczba istniejących punktów na płaszczyźnie;
- liczba wszystkich punktów w segmencie linii;
- zbiór dodatnich liczb całkowitych podzielnych przez 3 jest nieskończony;
- wszystkie liczby całkowite i naturalne.
Tak więc z powyższego rozumowania jasno wynika, jak odróżnić zbiory skończone od nieskończonych.
Moc zestawu kontinuum
Jeżeli porównamy zestaw i inne istniejące wartości, do zestawu zostanie dołączony dodatek. Jeśli ξ jest uniwersalne, a A jest podzbiorem ξ, to dopełnieniem A jest liczba wszystkich elementów ξ, które nie są elementami A. Symbolicznie dopełnieniem A względem ξ jest A'. Na przykład 2, 4, 5, 6 to jedyne elementy ξ, które nie należą do A. Dlatego A'={2, 4, 5, 6}
Zestaw z kontinuum liczności ma następujące cechy:
- uzupełnieniem wielkości uniwersalnej jest pusta wartość, o której mowa;
- ta zmienna o wartości null jest uniwersalna;
- ilość i jej uzupełnienie są rozłączne.
Na przykład:
- Niech liczba liczb naturalnych będzie zbiorem uniwersalnym, a A będzie parzyste. Wtedy A '{x:x jest zestawem nieparzystym z tymi samymi cyframi}.
- Let ξ=zestaw liter alfabetu. A=zbiór spółgłosek. Następnie A '=liczba samogłosek.
- Dopełnieniem zestawu uniwersalnego jest pusta ilość. Może być oznaczony przez ξ. Wtedy ξ '=Zbiór tych elementów, które nie są zawarte w ξ. Pusty zbiór φ jest zapisywany i oznaczany. Dlatego ξ=φ. Zatem uzupełnienie zbioru uniwersalnego jest puste.
W matematyce, "continuum" jest czasami używane do reprezentowania linii rzeczywistej. I bardziej ogólnie, aby opisać podobne obiekty:
- continuum (w teorii mnogości) - linia rzeczywista lub odpowiadająca jej liczba kardynalna;
- linear - dowolny uporządkowany zestaw, który posiada pewne właściwości linii rzeczywistej;
- continuum (w topologii) - niepusta zwarta połączona przestrzeń metryczna (czasami Hausdorffa);
- hipoteza, że żadne zbiory nieskończone nie są większe od liczb całkowitych, ale mniejsze od liczb rzeczywistych;
- potęgą kontinuum jest liczba kardynalna reprezentująca rozmiar zbioru liczb rzeczywistych.
Zasadniczo kontinuum (pomiar), teorie lub modele wyjaśniające stopniowe przejścia z jednego stanu do drugiego bez żadnych nagłych zmian.
Problemy połączenia i przecięcia
Wiadomo, że przecięcie dwóch lub więcej zbiorów to liczba zawierająca wszystkie elementy, które są wspólne dla tych wartości. Zadania tekstowe na zbiorach są rozwiązywane, aby uzyskać podstawowe pomysły na temat korzystania z właściwości sumy i przecięcia zbiorów. Rozwiązał główne problemy związane ze słowami nazestawy wyglądają tak:
Niech A i B będą dwoma skończonymi zbiorami. Są takie, że n (A)=20, n (B)=28 i n (A ∪ B)=36, znajdź n (A ∩ B)
Zależność w zestawach przy użyciu diagramu Venna:
- Połączenie dwóch zbiorów może być reprezentowane przez zacieniony obszar reprezentujący A B. A ∪ B, gdy A i B są zbiorami rozłącznymi.
- Przecięcie dwóch zbiorów można przedstawić za pomocą diagramu Venna. Z zacienionym obszarem reprezentującym A ∩ B.
- Różnicę między tymi dwoma zestawami można przedstawić za pomocą diagramów Venna. Z zacienionym obszarem reprezentującym A - B.
- Zależność między trzema zestawami przy użyciu diagramu Venna. Jeśli ξ reprezentuje wielkość uniwersalną, to A, B, C są trzema podzbiorami. Tutaj wszystkie trzy zestawy zachodzą na siebie.
Podsumowywanie informacji o zestawie
Liczność zestawu jest definiowana jako całkowita liczba pojedynczych elementów w zestawie. A ostatnia określona wartość jest opisana jako liczba wszystkich podzbiorów. Przy badaniu takich zagadnień wymagane są metody, metody i rozwiązania. Tak więc, dla liczności zbioru, następujące przykłady mogą służyć jako:
Niech A={0, 1, 2, 3}| |=4, gdzie | | reprezentuje liczność zbioru A.
Teraz możesz znaleźć swój pakiet zasilania. To też jest całkiem proste. Jak już powiedziano, zbiór mocy jest ustalany ze wszystkich podzbiorów danej liczby. Należy więc w zasadzie zdefiniować wszystkie zmienne, elementy i inne wartości A,którymi są {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Teraz obliczanie mocy P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}}, który ma 16 elementów. Zatem liczność zbioru A=16. Oczywiście jest to żmudna i kłopotliwa metoda rozwiązania tego problemu. Istnieje jednak prosty wzór, za pomocą którego można bezpośrednio poznać liczbę elementów w zbiorze potęgowym danej liczby. | P |=2 ^ N, gdzie N jest liczbą elementów w pewnym A. Wzór ten można uzyskać za pomocą prostej kombinatoryki. Więc pytanie to 2^11, ponieważ liczba elementów w zbiorze A to 11.
Zbiór jest więc dowolną liczbowo wyrażoną wielkością, która może być dowolnym możliwym obiektem. Na przykład samochody, ludzie, liczby. W sensie matematycznym pojęcie to jest szersze i bardziej uogólnione. Jeśli na początkowych etapach liczby i opcje ich rozwiązania są uporządkowane, to w środkowym i wyższym etapie warunki i zadania są skomplikowane. W rzeczywistości liczność związku zbioru jest określona przez przynależność obiektu do dowolnej grupy. Oznacza to, że jeden element należy do klasy, ale ma jedną lub więcej zmiennych.
