Seria Fouriera to reprezentacja arbitralnie przyjętej funkcji z określonym okresem jako szereg. Ogólnie rzecz biorąc, to rozwiązanie nazywa się dekompozycją elementu w bazie ortogonalnej. Rozszerzenie funkcji w szereg Fouriera jest dość potężnym narzędziem do rozwiązywania różnych problemów ze względu na właściwości tej transformacji podczas całkowania, różniczkowania, a także przesuwania wyrażenia w argumencie i splotu.
Osoba, która nie jest zaznajomiona z wyższą matematyką, a także z pracami francuskiego naukowca Fouriera, najprawdopodobniej nie zrozumie, czym są te „rzędy” i do czego służą. Tymczasem ta przemiana w naszym życiu stała się dość gęsta. Używają go nie tylko matematycy, ale także fizycy, chemicy, lekarze, astronomowie, sejsmolodzy, oceanografowie i wielu innych. Przyjrzyjmy się bliżej pracom wielkiego francuskiego naukowca, który dokonał odkrycia wyprzedzając swoje czasy.
Człowiek i transformacja Fouriera
Szeregi Fouriera są jedną z metod (obok analizy i innych) transformacji Fouriera. Ten proces zachodzi za każdym razem, gdy dana osoba słyszy dźwięk. Nasze ucho automatycznie konwertuje dźwiękfale. Ruchy oscylacyjne cząstek elementarnych w ośrodku sprężystym rozkładają się na rzędy (wzdłuż widma) kolejnych wartości poziomu głośności dla tonów o różnych wysokościach. Następnie mózg zamienia te dane w znajome nam dźwięki. Wszystko to dzieje się oprócz naszego pragnienia lub świadomości samo w sobie, ale aby zrozumieć te procesy, nauka wyższej matematyki zajmie kilka lat.
Więcej informacji o transformacji Fouriera
Transformację Fouriera można przeprowadzić metodami analitycznymi, numerycznymi i innymi. Seria Fouriera odnosi się do liczbowego sposobu rozkładu dowolnych procesów oscylacyjnych - od pływów oceanicznych i fal świetlnych po cykle aktywności Słońca (i innych obiektów astronomicznych). Korzystając z tych technik matematycznych, możliwe jest analizowanie funkcji, reprezentujących dowolne procesy oscylacyjne jako szereg składowych sinusoidalnych, które przechodzą od minimum do maksimum i odwrotnie. Transformata Fouriera to funkcja opisująca fazę i amplitudę sinusoid odpowiadających określonej częstotliwości. Proces ten może być wykorzystany do rozwiązywania bardzo złożonych równań opisujących procesy dynamiczne zachodzące pod wpływem energii cieplnej, świetlnej lub elektrycznej. Szeregi Fouriera umożliwiają również wyizolowanie stałych składowych w złożonych sygnałach oscylacyjnych, co umożliwiło prawidłową interpretację uzyskanych obserwacji eksperymentalnych w medycynie, chemii i astronomii.
Tło historyczne
Ojciec założycielski tej teoriiJean Baptiste Joseph Fourier jest francuskim matematykiem. Ta przemiana została później nazwana jego imieniem. Początkowo naukowiec zastosował swoją metodę do badania i wyjaśniania mechanizmów przewodzenia ciepła - rozchodzenia się ciepła w ciałach stałych. Fourier zasugerował, że początkowy nieregularny rozkład fali upałów można rozłożyć na najprostsze sinusoidy, z których każda będzie miała swoje minimum i maksimum temperatury, a także własną fazę. W takim przypadku każdy taki składnik będzie mierzony od minimum do maksimum i odwrotnie. Funkcja matematyczna opisująca górne i dolne piki krzywej, jak również fazę każdej z harmonicznych, nazywana jest transformatą Fouriera wyrażenia rozkładu temperatury. Autor teorii zredukował ogólną funkcję rozkładu, która jest trudna do matematycznego opisania, do bardzo łatwego w obsłudze szeregu okresowych funkcji cosinusa i sinusa, które sumują się do pierwotnego rozkładu.
Zasada transformacji i poglądy współczesnych
Współcześni naukowca - czołowi matematycy początku XIX wieku - nie akceptowali tej teorii. Głównym zarzutem było twierdzenie Fouriera, że funkcję nieciągłą opisującą linię prostą lub krzywą nieciągłą można przedstawić jako sumę wyrażeń sinusoidalnych, które są ciągłe. Jako przykład rozważmy „krok” Heaviside'a: jego wartość to zero na lewo od luki i jeden na prawo. Funkcja ta opisuje zależność prądu elektrycznego od zmiennej czasu, gdy obwód jest zamknięty. Współcześni teorii w tamtym czasie nigdy nie spotkali się z takimisytuacja, w której wyrażenie nieciągłe byłoby opisane przez kombinację ciągłych, zwykłych funkcji, takich jak wykładnicza, sinusoidalna, liniowa czy kwadratowa.
Co zdezorientowało francuskich matematyków w teorii Fouriera?
W końcu, jeśli matematyk miał rację w swoich twierdzeniach, to sumując nieskończone szeregi trygonometryczne Fouriera, można uzyskać dokładną reprezentację wyrażenia krokowego, nawet jeśli ma wiele podobnych kroków. Na początku XIX wieku takie stwierdzenie wydawało się absurdalne. Jednak pomimo wszelkich wątpliwości, wielu matematyków rozszerzyło zakres badań tego zjawiska, wyprowadzając je poza zakres badań przewodnictwa cieplnego. Jednak większość naukowców nadal zadręczała się pytaniem: „Czy suma szeregu sinusoidalnego może być zbieżna z dokładną wartością funkcji nieciągłej?”
Zbieżność szeregu Fouriera: przykład
Kwestia zbieżności pojawia się zawsze, gdy konieczne jest zsumowanie nieskończonych serii liczb. Aby zrozumieć to zjawisko, rozważ klasyczny przykład. Czy zdołasz kiedykolwiek dotrzeć do ściany, jeśli każdy kolejny krok jest o połowę mniejszy od poprzedniego? Załóżmy, że jesteś dwa metry od bramki, pierwszy krok przybliża cię do połowy, następny do trzech czwartych, a po piątym pokonasz prawie 97 procent drogi. Jednak bez względu na to, ile kroków podejmiesz, nie osiągniesz zamierzonego celu w ścisłym matematycznym sensie. Za pomocą obliczeń numerycznych można udowodnić, że w końcu można podejść tak blisko, jak się chce.mała określona odległość. Ten dowód jest równoważny wykazaniu, że suma wartości połowy, jednej czwartej itd. będzie dążyła do jednego.
Kwestia zbieżności: Drugie Przyjście, czyli urządzenie Lorda Kelvina
Pytanie to wielokrotnie pojawiało się pod koniec XIX wieku, kiedy próbowano wykorzystać szereg Fouriera do przewidywania intensywności przypływów i odpływów. W tym czasie Lord Kelvin wynalazł urządzenie, które jest analogowym urządzeniem komputerowym, które umożliwiło marynarzom floty wojskowej i handlowej śledzenie tego naturalnego zjawiska. Mechanizm ten określał zestawy faz i amplitud na podstawie tabeli wysokości pływów i odpowiadających im momentów czasowych, dokładnie mierzonych w danym porcie w ciągu roku. Każdy parametr był sinusoidalną składową wyrażenia wysokości pływu i był jedną z regularnych składowych. Wyniki pomiarów zostały wprowadzone do kalkulatora Lorda Kelvina, który zsyntetyzował krzywą, która przewidywała wysokość wody w funkcji czasu na następny rok. Wkrótce podobne krzywe zostały sporządzone dla wszystkich portów świata.
A jeśli proces zostanie przerwany przez funkcję nieciągłą?
W tym czasie wydawało się oczywiste, że predyktor fal pływowych z dużą liczbą elementów liczących może obliczyć dużą liczbę faz i amplitud, a tym samym zapewnić dokładniejsze przewidywania. Niemniej jednak okazało się, że prawidłowości tej nie obserwuje się w przypadkach, gdy następuje wyrażenie pływowe, które następujesyntezować, zawierał ostry skok, to znaczy był nieciągły. W przypadku wprowadzenia do urządzenia danych z tabeli momentów czasowych, obliczane jest kilka współczynników Fouriera. Pierwotna funkcja zostaje przywrócona dzięki składowym sinusoidalnym (zgodnie z ustalonymi współczynnikami). Rozbieżność między oryginalną i przywróconą ekspresją można zmierzyć w dowolnym momencie. Przeprowadzając powtórne obliczenia i porównania można zauważyć, że wartość największego błędu nie maleje. Jednak są one zlokalizowane w regionie odpowiadającym punktowi nieciągłości i dążą do zera w każdym innym punkcie. W 1899 r. wynik ten został teoretycznie potwierdzony przez Joshua Willard Gibbs z Yale University.
Zbieżność szeregu Fouriera i ogólny rozwój matematyki
Analiza Fouriera nie ma zastosowania do wyrażeń zawierających nieskończoną liczbę impulsów w określonym przedziale. Ogólnie rzecz biorąc, szeregi Fouriera, jeśli pierwotna funkcja jest wynikiem rzeczywistego pomiaru fizycznego, zawsze są zbieżne. Kwestie zbieżności tego procesu dla określonych klas funkcji doprowadziły do pojawienia się nowych działów w matematyce, na przykład teorii funkcji uogólnionych. Związany jest z takimi nazwiskami jak L. Schwartz, J. Mikusinsky i J. Temple. W ramach tej teorii stworzono jasną i precyzyjną podstawę teoretyczną dla takich wyrażeń jak funkcja delta Diraca (opisuje ona obszar pojedynczego obszaru skoncentrowanego w nieskończenie małym sąsiedztwie punktu) oraz Heaviside’a” krok . Dzięki tej pracy seria Fouriera znalazła zastosowanie do:rozwiązywanie równań i problemów, które zawierają intuicyjne pojęcia: ładunek punktowy, masa punktowa, dipole magnetyczne, a także obciążenie skupione na wiązce.
Metoda Fouriera
Serie Fouriera, zgodnie z zasadami interferencji, rozpoczynają się od rozkładu form złożonych na formy prostsze. Na przykład zmianę przepływu ciepła tłumaczy się jego przejściem przez różne przeszkody wykonane z materiału termoizolacyjnego o nieregularnym kształcie lub zmianą powierzchni ziemi - trzęsieniem ziemi, zmianą orbity ciała niebieskiego - wpływem planety. Z reguły podobne równania opisujące proste klasyczne układy są rozwiązywane elementarnie dla każdej pojedynczej fali. Fourier wykazał, że proste rozwiązania można zsumować, aby uzyskać rozwiązania bardziej złożonych problemów. W języku matematyki szereg Fouriera jest techniką przedstawiania wyrażenia jako sumy harmonicznych - cosinusów i sinusoid. Dlatego ta analiza jest również znana jako „analiza harmoniczna”.
Seria Fouriera - idealna technika przed "erą komputerów"
Przed stworzeniem technologii komputerowej technika Fouriera była najlepszą bronią w arsenale naukowców pracujących z falową naturą naszego świata. Szereg Fouriera w postaci złożonej pozwala rozwiązywać nie tylko proste problemy, które można bezpośrednio zastosować do praw mechaniki Newtona, ale także równania podstawowe. Większość odkryć nauki Newtona w XIX wieku była możliwa tylko dzięki technice Fouriera.
Dzisiejsza seria Fouriera
Wraz z rozwojem komputerów z transformacją Fourierapodniesiony na zupełnie nowy poziom. Ta technika jest mocno zakorzeniona w prawie wszystkich dziedzinach nauki i technologii. Przykładem jest cyfrowy sygnał audio i wideo. Jego realizacja stała się możliwa tylko dzięki teorii opracowanej przez francuskiego matematyka na początku XIX wieku. W ten sposób szereg Fouriera w złożonej formie umożliwił dokonanie przełomu w badaniu przestrzeni kosmicznej. Ponadto wpłynął na badania fizyki materiałów półprzewodnikowych i plazmy, akustyki mikrofalowej, oceanografii, radaru, sejsmologii.
Seria trygonometryczna Fouriera
W matematyce szereg Fouriera jest sposobem przedstawiania dowolnych funkcji złożonych jako sumy funkcji prostszych. W ogólnych przypadkach liczba takich wyrażeń może być nieskończona. Co więcej, im bardziej ich liczba zostanie uwzględniona w obliczeniach, tym dokładniejszy jest wynik końcowy. Najczęściej funkcje trygonometryczne cosinusa lub sinusa są używane jako najprostsze. W tym przypadku szeregi Fouriera nazywamy trygonometrycznymi, a rozwiązanie takich wyrażeń nazywamy rozwinięciem harmonicznej. Ta metoda odgrywa ważną rolę w matematyce. Przede wszystkim szereg trygonometryczny dostarcza środków do obrazu, a także badania funkcji, jest głównym aparatem teorii. Ponadto pozwala rozwiązać szereg problemów fizyki matematycznej. Wreszcie teoria ta przyczyniła się do rozwoju analizy matematycznej, dała początek wielu bardzo ważnym działom nauk matematycznych (teoria całek, teoria funkcji okresowych). Ponadto służył jako punkt wyjścia do rozwoju następujących teorii: zbiorów, funkcjizmienna rzeczywista, analiza funkcjonalna, a także położyła podwaliny pod analizę harmoniczną.
