Transformacja Fouriera to transformacja, która porównuje funkcje pewnej zmiennej rzeczywistej. Ta operacja jest wykonywana za każdym razem, gdy odbieramy różne dźwięki. Ucho dokonuje automatycznego „obliczenia”, które nasza świadomość jest w stanie wykonać dopiero po przestudiowaniu odpowiedniego działu wyższej matematyki. Narząd słuchu człowieka buduje przemianę, w wyniku której dźwięk (ruch oscylacyjny cząstek warunkowych w ośrodku sprężystym, które rozchodzą się w postaci falowej w ośrodku stałym, ciekłym lub gazowym) jest dostarczany w postaci widma kolejnych wartości poziomu głośności tonów o różnych wysokościach. Następnie mózg zamienia te informacje w dźwięk znany wszystkim.
Matematyczna transformata Fouriera
Transformację fal dźwiękowych lub innych procesów oscylacyjnych (od promieniowania świetlnego i pływów oceanicznych do cykli aktywności gwiazdowej lub słonecznej) można również przeprowadzić przy użyciu metod matematycznych. Tak więc, korzystając z tych technik, można rozłożyć funkcje, przedstawiając procesy oscylacyjne jako zbiór składowych sinusoidalnych, czyli falistych krzywych, któreidź od niskiego do wysokiego, a potem z powrotem do niskiego, jak fala morska. Transformata Fouriera - transformacja, której funkcja opisuje fazę lub amplitudę każdej sinusoidy odpowiadającej określonej częstotliwości. Faza jest punktem początkowym krzywej, a amplituda jest jej wysokością.
Transformacja Fouriera (przykłady pokazano na zdjęciu) to bardzo potężne narzędzie, które jest używane w różnych dziedzinach nauki. W niektórych przypadkach służy do rozwiązywania dość złożonych równań opisujących procesy dynamiczne zachodzące pod wpływem światła, energii cieplnej lub elektrycznej. W innych przypadkach pozwala na określenie regularnych składowych w złożonych sygnałach oscylacyjnych, dzięki czemu można poprawnie interpretować różne obserwacje eksperymentalne w chemii, medycynie i astronomii.
Tło historyczne
Pierwszą osobą, która zastosowała tę metodę, był francuski matematyk Jean Baptiste Fourier. Transformacja, nazwana później jego imieniem, była pierwotnie używana do opisu mechanizmu przewodzenia ciepła. Fourier spędził całe swoje dorosłe życie na badaniu właściwości ciepła. Wniósł ogromny wkład w matematyczną teorię wyznaczania pierwiastków równań algebraicznych. Fourier był profesorem analizy w Szkole Politechnicznej, sekretarzem Instytutu Egiptologii, był w służbie cesarskiej, gdzie wyróżnił się przy budowie drogi do Turynu (pod jego kierownictwem ponad 80 tysięcy kilometrów kwadratowych malarii).bagna). Jednak cała ta energiczna działalność nie przeszkodziła naukowcowi w przeprowadzeniu analizy matematycznej. W 1802 wyprowadził równanie opisujące propagację ciepła w ciałach stałych. W 1807 roku naukowiec odkrył metodę rozwiązania tego równania, którą nazwano „transformacją Fouriera”.
Analiza przewodności cieplnej
Naukowiec zastosował metodę matematyczną do opisania mechanizmu przewodzenia ciepła. Wygodnym przykładem, w którym nie ma trudności w obliczeniach, jest propagacja energii cieplnej przez żelazny pierścień zanurzony w jednej części w ogniu. Aby przeprowadzić eksperymenty, Fourier rozgrzał do czerwoności część tego pierścienia i zakopał go w drobnym piasku. Następnie wykonał pomiary temperatury po przeciwnej stronie. Początkowo rozkład ciepła jest nieregularny: część pierścienia jest zimna, a druga gorąca, między tymi strefami można zaobserwować ostry gradient temperatury. Jednak w procesie propagacji ciepła na całej powierzchni metalu staje się bardziej jednorodny. Wkrótce proces ten przybiera postać sinusoidy. Na początku wykres płynnie rośnie, a także maleje płynnie, dokładnie zgodnie z prawami zmiany funkcji cosinusa lub sinusa. Fala stopniowo słabnie, w wyniku czego temperatura na całej powierzchni pierścienia staje się taka sama.
Autor tej metody zasugerował, że początkowy nieregularny rozkład można rozłożyć na szereg elementarnych sinusoid. Każdy z nich będzie miał swoją fazę (pozycja początkowa) i własną temperaturęmaksymalny. Co więcej, każdy taki składnik zmienia się od minimum do maksimum iz powrotem podczas pełnego obrotu wokół pierścienia całkowitą liczbę razy. Składnik z jednym okresem nazwano harmoniczną podstawową, a wartość z dwoma lub więcej okresami nazwano drugą i tak dalej. Tak więc funkcja matematyczna opisująca maksimum temperatury, fazę lub położenie nazywana jest transformatą Fouriera funkcji rozkładu. Naukowiec zredukował jeden, trudny do matematycznego opisania składnik, do prostego w użyciu narzędzia - szeregu cosinusów i sinusów, które sumują się, dając oryginalny rozkład.
Istota analizy
Stosując tę analizę do transformacji propagacji ciepła przez ciało stałe o kształcie pierścienia, matematyk doszedł do wniosku, że zwiększenie okresów składowej sinusoidalnej doprowadziłoby do jej szybkiego zaniku. Widać to wyraźnie w podstawowej i drugiej harmonicznej. W tych ostatnich temperatura w jednym przejściu osiąga wartości maksymalne i minimalne dwukrotnie, a w pierwszym tylko raz. Okazuje się, że droga pokonywana przez ciepło w drugiej harmonicznej będzie o połowę mniejsza niż w podstawowej. Dodatkowo nachylenie w drugim będzie również dwa razy większe niż w pierwszym. Dlatego, ponieważ bardziej intensywny przepływ ciepła pokonuje odległość dwukrotnie krótszą, ta harmoniczna będzie zanikać cztery razy szybciej niż podstawowa w funkcji czasu. W przyszłości proces ten będzie jeszcze szybszy. Matematyk uważał, że ta metoda pozwala obliczyć proces początkowego rozkładu temperatury w czasie.
Wyzwanie dla współczesnych
Algorytm transformacji Fouriera podważył wówczas teoretyczne podstawy matematyki. Na początku XIX wieku najwybitniejsi naukowcy, m.in. Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre i Biot, nie pogodzili się z jego stwierdzeniem, że początkowy rozkład temperatury rozkłada się na składowe w postaci harmonicznej podstawowej i wyższych częstotliwości. Jednak Akademia Nauk nie mogła zignorować wyników uzyskanych przez matematyka i przyznała mu nagrodę za teorię praw przewodnictwa cieplnego, a także porównanie jej z eksperymentami fizycznymi. W podejściu Fouriera głównym zarzutem był fakt, że funkcja nieciągła jest reprezentowana przez sumę kilku funkcji sinusoidalnych, które są ciągłe. W końcu opisują podarte linie proste i zakrzywione. Współcześni naukowcowi nigdy nie spotkali podobnej sytuacji, w której funkcje nieciągłe opisywano kombinacją ciągłych, takich jak kwadratowa, liniowa, sinusoidalna czy wykładnicza. Gdyby matematyk miał rację w swoich twierdzeniach, to suma nieskończonego szeregu funkcji trygonometrycznej powinna zostać sprowadzona do dokładnej liczby stopniowej. W tamtym czasie takie stwierdzenie wydawało się absurdalne. Jednak mimo wątpliwości niektórzy badacze (np. Claude Navier, Sophie Germain) rozszerzyli zakres badań i wyprowadzili je poza analizę rozkładu energii cieplnej. Tymczasem matematycy nadal zmagali się z pytaniem, czy sumę kilku funkcji sinusoidalnych można zredukować do dokładnej reprezentacji funkcji nieciągłej.
200 lathistoria
Ta teoria ewoluowała przez dwa stulecia, dziś w końcu się uformowała. Za jego pomocą funkcje przestrzenne lub czasowe dzielą się na składowe sinusoidalne, które mają własną częstotliwość, fazę i amplitudę. Przekształcenie to uzyskuje się dwoma różnymi metodami matematycznymi. Pierwsza z nich jest używana, gdy pierwotna funkcja jest ciągła, a druga - gdy jest reprezentowana przez zbiór dyskretnych pojedynczych zmian. Jeżeli wyrażenie jest otrzymywane z wartości, które są określone przez przedziały dyskretne, to można je podzielić na kilka wyrażeń sinusoidalnych o częstotliwościach dyskretnych - od najniższej, a następnie dwukrotnie, trzykrotnie i tak dalej od głównej. Taka suma nazywa się szeregiem Fouriera. Jeśli początkowe wyrażenie ma określoną wartość dla każdej liczby rzeczywistej, to można je rozłożyć na kilka sinusoidalnych ze wszystkich możliwych częstotliwości. Jest powszechnie nazywana całką Fouriera, a rozwiązanie implikuje całkowe przekształcenia funkcji. Niezależnie od sposobu uzyskania konwersji, dla każdej częstotliwości należy podać dwie liczby: amplitudę i częstotliwość. Wartości te są wyrażone jako pojedyncza liczba zespolona. Teoria wyrażeń zmiennych zespolonych wraz z transformatą Fouriera umożliwiła prowadzenie obliczeń przy projektowaniu różnych obwodów elektrycznych, analizie drgań mechanicznych, badaniu mechanizmu propagacji fal i nie tylko.
Dzisiejsza transformacja Fouriera
Dziś badanie tego procesu sprowadza się głównie do znalezienia skutecznegometody przejścia od funkcji do jej postaci przekształconej i odwrotnie. To rozwiązanie nazywa się bezpośrednią i odwrotną transformacją Fouriera. Co to znaczy? Do wyznaczenia całki i uzyskania bezpośredniej transformacji Fouriera można wykorzystać metody matematyczne lub analityczne. Pomimo tego, że przy ich praktycznym stosowaniu pojawiają się pewne trudności, większość całek została już znaleziona i uwzględniona w podręcznikach matematycznych. Metod numerycznych można używać do obliczania wyrażeń, których postać oparta jest na danych eksperymentalnych, lub funkcji, których całki nie są dostępne w tabelach i są trudne do przedstawienia w formie analitycznej.
Przed pojawieniem się komputerów obliczenia takich przekształceń były bardzo żmudne, wymagały ręcznego wykonywania dużej liczby operacji arytmetycznych, które zależały od liczby punktów opisujących funkcję falową. Aby ułatwić obliczenia, dziś istnieją specjalne programy, które umożliwiły wdrożenie nowych metod analitycznych. Tak więc w 1965 roku James Cooley i John Tukey stworzyli oprogramowanie, które stało się znane jako „szybka transformata Fouriera”. Pozwala zaoszczędzić czas na obliczenia, zmniejszając liczbę mnożeń w analizie krzywej. Metoda szybkiej transformacji Fouriera polega na podzieleniu krzywej na dużą liczbę jednorodnych wartości próbek. W związku z tym liczba mnożeń zmniejsza się o połowę przy tym samym spadku liczby punktów.
Zastosowanie przekształcenia Fouriera
Toproces jest wykorzystywany w różnych dziedzinach nauki: w teorii liczb, fizyce, przetwarzaniu sygnałów, kombinatoryce, rachunku prawdopodobieństwa, kryptografii, statystyce, oceanologii, optyce, akustyce, geometrii i innych. Bogate możliwości jego zastosowania opierają się na szeregu przydatnych cech, które nazywane są „właściwościami przekształcenia Fouriera”. Rozważ je.
1. Transformacja funkcji jest operatorem liniowym i przy odpowiedniej normalizacji jest unitarna. Ta własność jest znana jako twierdzenie Parsevala lub ogólnie twierdzenie Plancherela lub dualizm Pontryagina.
2. Transformacja jest odwracalna. Co więcej, wynik odwrotny ma prawie taką samą postać jak w rozwiązaniu bezpośrednim.
3. Wyrażenia o podstawie sinusoidalnej są własnymi funkcjami zróżnicowanymi. Oznacza to, że taka reprezentacja zamienia równania liniowe o stałym współczynniku na zwykłe równania algebraiczne.
4. Zgodnie z twierdzeniem „splotu” proces ten zamienia złożoną operację w elementarne mnożenie.
5. Dyskretna transformata Fouriera może być szybko obliczona na komputerze przy użyciu „szybkiej” metody.
Odmiany transformaty Fouriera
1. Najczęściej termin ten jest używany do oznaczenia transformacji ciągłej, która zapewnia dowolne wyrażenie całkowalne do kwadratu jako sumę złożonych wyrażeń wykładniczych o określonych częstotliwościach kątowych i amplitudach. Gatunek ten ma kilka różnych form, które mogą:różnią się stałymi współczynnikami. Metoda ciągła zawiera tabelę przeliczeniową, którą można znaleźć w podręcznikach matematycznych. Przypadek uogólniony to przekształcenie ułamkowe, za pomocą którego dany proces może zostać podniesiony do wymaganej mocy rzeczywistej.
2. Tryb ciągły jest uogólnieniem wczesnej techniki szeregów Fouriera zdefiniowanej dla różnych funkcji okresowych lub wyrażeń, które istnieją na ograniczonym obszarze i reprezentują je jako ciągi sinusoid.
3. Dyskretna transformata Fouriera. Metoda ta jest wykorzystywana w technice komputerowej do obliczeń naukowych i cyfrowego przetwarzania sygnałów. Do przeprowadzenia tego typu obliczeń wymagane są funkcje definiujące poszczególne punkty, obszary okresowe lub ograniczone na zbiorze dyskretnym zamiast ciągłych całek Fouriera. Transformacja sygnału w tym przypadku jest reprezentowana jako suma sinusoid. Jednocześnie zastosowanie metody „szybkiej” umożliwia zastosowanie dyskretnych rozwiązań wszelkich praktycznych problemów.
4. Okienkowa transformata Fouriera jest uogólnioną formą metody klasycznej. W przeciwieństwie do rozwiązania standardowego, gdy wykorzystuje się widmo sygnału, które jest brane w pełnym zakresie istnienia danej zmiennej, tutaj szczególnie interesujący jest tylko lokalny rozkład częstotliwości, pod warunkiem zachowania pierwotnej zmiennej (czasu).
5. Dwuwymiarowa transformata Fouriera. Ta metoda służy do pracy z dwuwymiarowymi tablicami danych. W tym przypadku najpierw transformacja jest wykonywana w jednym kierunku, a następnie winne.
Wniosek
Dziś metoda Fouriera jest mocno zakorzeniona w różnych dziedzinach nauki. Na przykład w 1962 r. za pomocą analizy Fouriera połączonej z dyfrakcją promieni rentgenowskich odkryto kształt podwójnej helisy DNA. Te ostatnie koncentrowały się na kryształach włókien DNA, w wyniku czego obraz uzyskany przez dyfrakcję promieniowania został zarejestrowany na kliszy. Obraz ten dał informację o wartości amplitudy przy zastosowaniu transformacji Fouriera do danej struktury krystalicznej. Dane fazowe uzyskano porównując mapę dyfrakcyjną DNA z mapami uzyskanymi z analizy podobnych struktur chemicznych. W rezultacie biolodzy przywrócili strukturę kryształu – pierwotną funkcję.
Transformatory Fouriera odgrywają ogromną rolę w badaniach kosmosu, fizyce półprzewodników i plazmy, akustyce mikrofalowej, oceanografii, radarze, sejsmologii i badaniach medycznych.
