Jedną z charakterystycznych właściwości każdej fali jest jej zdolność do dyfrakcji na przeszkodach, której wielkość jest porównywalna z długością fali tej fali. Ta właściwość jest wykorzystywana w tak zwanych siatkach dyfrakcyjnych. Czym są i jak można je wykorzystać do analizy widm emisyjnych i absorpcyjnych różnych materiałów, omówiono w artykule.
Zjawisko dyfrakcji
Zjawisko to polega na zmianie trajektorii prostoliniowego rozchodzenia się fali, gdy na jej drodze pojawi się przeszkoda. W przeciwieństwie do załamania i odbicia, dyfrakcja jest zauważalna tylko przy bardzo małych przeszkodach, których wymiary geometryczne są rzędu długości fali. Istnieją dwa rodzaje dyfrakcji:
- fala zginająca się wokół obiektu, gdy długość fali jest znacznie większa niż rozmiar tego obiektu;
- rozpraszanie fali podczas przechodzenia przez otwory o różnych kształtach geometrycznych, gdy wymiary otworów są mniejsze niż długość fali.
Zjawisko dyfrakcji jest charakterystyczne dla fal dźwiękowych, morskich i elektromagnetycznych. W dalszej części artykułu rozważymy siatkę dyfrakcyjną tylko dla światła.
Zjawisko interferencji
Wzory dyfrakcyjne pojawiające się na różnych przeszkodach (okrągłych otworach, szczelinach i kratach) są wynikiem nie tylko dyfrakcji, ale także interferencji. Istotą tych ostatnich jest nakładanie się na siebie fal, które są emitowane przez różne źródła. Jeśli te źródła emitują fale, zachowując różnicę faz między nimi (właściwość koherencji), wówczas można zaobserwować stabilny wzór interferencji w czasie.
Położenie maksimów (jasnych obszarów) i minimów (ciemnych stref) jest wyjaśnione w następujący sposób: jeśli dwie fale docierają do danego punktu w przeciwfazie (jedna z maksymalną, a druga z minimalną amplitudą bezwzględną), następnie „niszczą” się nawzajem i w punkcie obserwuje się minimum. Wręcz przeciwnie, jeśli dwie fale przyjdą w tej samej fazie do punktu, to wzmocnią się nawzajem (maksymalnie).
Oba zjawiska zostały po raz pierwszy opisane przez Anglika Thomasa Younga w 1801 roku, kiedy badał dyfrakcję na dwóch szczelinach. Jednak włoski Grimaldi po raz pierwszy zaobserwował to zjawisko w 1648 roku, kiedy badał wzór dyfrakcji światła słonecznego przechodzącego przez mały otwór. Grimaldi nie był w stanie wyjaśnić wyników swoich eksperymentów.
Metoda matematyczna stosowana do badania dyfrakcji
Ta metoda nazywa się zasadą Huygensa-Fresnela. Polega na stwierdzeniu, że w procesiepropagacja czoła fali, każdy z jej punktów jest źródłem fal wtórnych, których interferencja determinuje powstałe oscylacje w dowolnym rozpatrywanym punkcie.
Opisaną zasadę opracował Augustin Fresnel w pierwszej połowie XIX wieku. Jednocześnie Fresnel wyszedł z idei teorii falowej Christiana Huygensa.
Chociaż zasada Huygensa-Fresnela nie jest teoretycznie rygorystyczna, została z powodzeniem wykorzystana do matematycznego opisu eksperymentów z dyfrakcją i interferencją.
Dyfrakcja na polach bliskich i dalekich
Dyfrakcja jest dość złożonym zjawiskiem, którego dokładne matematyczne rozwiązanie wymaga rozważenia teorii elektromagnetyzmu Maxwella. Dlatego w praktyce rozpatruje się tylko szczególne przypadki tego zjawiska, stosując różne przybliżenia. Jeżeli fala padająca na przeszkodę jest płaska, rozróżnia się dwa rodzaje dyfrakcji:
- w polu bliskim lub dyfrakcja Fresnela;
- w polu dalekim, czyli dyfrakcja Fraunhofera.
Słowa „pole dalekie i bliskie” oznaczają odległość do ekranu, na której obserwowany jest obraz dyfrakcyjny.
Przejście między dyfrakcją Fraunhofera i Fresnela można oszacować, obliczając liczbę Fresnela dla konkretnego przypadku. Ta liczba jest zdefiniowana w następujący sposób:
F=a2/(Dλ).
Tutaj λ to długość fali światła, D to odległość od ekranu, a to rozmiar obiektu, na którym zachodzi dyfrakcja.
Jeśli F<1, to rozważjuż przybliżenia bliskiego pola.
Wiele praktycznych przypadków, w tym zastosowanie siatki dyfrakcyjnej, jest rozważanych w przybliżeniu pola dalekiego.
Koncepcja siatki, na której uginają się fale
Ta siatka to mały płaski obiekt, na który nakładana jest w pewien sposób struktura okresowa, taka jak paski lub rowki. Ważnym parametrem takiej kraty jest liczba pasków na jednostkę długości (zwykle 1 mm). Ten parametr nazywa się stałą sieciową. Ponadto oznaczymy go symbolem N. Odwrotność N określa odległość między sąsiednimi paskami. Oznaczmy to literą d, wtedy:
d=1/N.
Kiedy fala płaska pada na taką kratę, doświadcza ona okresowych perturbacji. Te ostatnie są wyświetlane na ekranie w postaci pewnego obrazu, który jest wynikiem interferencji fal.
Rodzaje krat
Istnieją dwa rodzaje siatek dyfrakcyjnych:
- przejście lub przezroczyste;
- odblaskowe.
Pierwsze z nich wykonuje się, stosując nieprzezroczyste pociągnięcia na szkle. To właśnie z takimi płytami sprawdzają się w laboratoriach, znajdują zastosowanie w spektroskopach.
Drugi typ, czyli siatki odblaskowe, wykonuje się poprzez nakładanie okresowych rowków na polerowany materiał. Uderzającym przykładem takiej kratki na co dzień jest plastikowa płyta CD lub DVD.
Równanie kratowe
Biorąc pod uwagę dyfrakcję Fraunhofera na siatce, dla natężenia światła we wzorze dyfrakcji można zapisać następujące wyrażenie:
I(θ)=I0(sin(β)/β)2[sin(Nα) /sin(α)]2, gdzie
α=pid/λ(sin(θ)-sin(θ0));
β=pia/λ(sin(θ)-sin(θ0)).
Parametr a to szerokość jednego gniazda, a parametr d to odległość między nimi. Ważną cechą w wyrażeniu na I(θ) jest kąt θ. Jest to kąt pomiędzy centralną prostopadłą do płaszczyzny siatki a określonym punktem na obrazie dyfrakcyjnym. W eksperymentach jest mierzony za pomocą goniometru.
W prezentowanym wzorze wyrażenie w nawiasach określa dyfrakcję na jednej szczelinie, a wyrażenie w nawiasach kwadratowych jest wynikiem interferencji fal. Analizując to dla warunku maksimów interferencji, możemy dojść do następującego wzoru:
sin(θm)-sin(θ0)=mλ/d.
Kąt θ0 charakteryzuje falę padającą na kratę. Jeśli czoło fali jest do niej równoległe, wtedy θ0=0, a ostatnie wyrażenie staje się:
sin(θm)=mλ/d.
Ten wzór nazywa się równaniem siatki dyfrakcyjnej. Wartość m przyjmuje dowolne liczby całkowite, w tym ujemne i zero, nazywa się to rzędem dyfrakcji.
Analiza równań sieciowych
W poprzednim akapicie dowiedzieliśmy sięże położenie maksimów głównych opisuje równanie:
sin(θm)=mλ/d.
Jak można to zastosować w praktyce? Stosuje się go głównie wtedy, gdy światło padające na siatkę dyfrakcyjną z okresem d rozkłada się na poszczególne kolory. Im dłuższa długość fali λ, tym większa będzie odległość kątowa do maksimum, które jej odpowiada. Pomiar odpowiedniego θm dla każdej fali pozwala obliczyć jej długość, a tym samym określić całe widmo promieniującego obiektu. Porównując to widmo z danymi ze znanej bazy danych, możemy stwierdzić, które pierwiastki chemiczne je wyemitowały.
Powyższy proces jest używany w spektrometrach.
Rozdzielczość siatki
Pod tym rozumie się taką różnicę między dwiema długościami fal, które pojawiają się we wzorze dyfrakcyjnym jako oddzielne linie. Faktem jest, że każda linia ma określoną grubość, gdy dwie fale o zbliżonych wartościach dyfrakcji λ i λ + Δλ, to odpowiadające im linie na obrazie mogą złączyć się w jedną. W tym drugim przypadku mówi się, że rozdzielczość siatki jest mniejsza niż Δλ.
Pomijając argumenty dotyczące wyprowadzenia wzoru na rozdzielczość siatki, przedstawiamy jej ostateczną postać:
Δλ>λ/(mN).
Ten mały wzór pozwala nam wnioskować: za pomocą siatki można oddzielić bliższe długości fal (Δλ), im dłuższa długość fali światła λ, tym większa liczba uderzeń na jednostkę długości(stała sieciowa N) i wyższy rząd dyfrakcji. Zatrzymajmy się nad ostatnim.
Jeśli spojrzysz na obraz dyfrakcyjny, to wraz ze wzrostem m, rzeczywiście zwiększa się odległość między sąsiednimi długościami fal. Aby jednak użyć wysokich rzędów dyfrakcji, konieczne jest, aby natężenie światła na nich było wystarczające do pomiarów. Na konwencjonalnej siatce dyfrakcyjnej szybko opada wraz ze wzrostem m. Dlatego do tych celów stosuje się specjalne kraty, które są wykonane w taki sposób, aby redystrybuować natężenie światła na korzyść dużych m. Z reguły są to siatki odblaskowe, których wzór dyfrakcyjny uzyskuje się dla dużych θ0.
Następnie rozważ użycie równania kratowego do rozwiązania kilku problemów.
Zadanie określania kątów dyfrakcji, kolejności dyfrakcji i stałej sieci
Podajmy przykłady rozwiązania kilku problemów:
W celu określenia okresu siatki dyfrakcyjnej przeprowadza się następujący eksperyment: pobierane jest monochromatyczne źródło światła o znanej długości fali. Za pomocą soczewek powstaje równoległy front fali, czyli powstają warunki do dyfrakcji Fraunhofera. Następnie front ten kierowany jest na siatkę dyfrakcyjną, której okres jest nieznany. Na uzyskanym obrazie kąty dla różnych rzędów są mierzone za pomocą goniometru. Następnie formuła oblicza wartość nieznanego okresu. Przeprowadźmy to obliczenie na konkretnym przykładzie
Niech długość fali światła wynosi 500 nm, a kąt dla pierwszego rzędu dyfrakcji wynosi 21o. Na podstawie tych danych konieczne jest wyznaczenie okresu siatki dyfrakcyjnej d.
Używając równania sieci, wyraź d i wprowadź dane:
d=mλ/sin(θm)=150010-9/sin(21 o) ≈ 1,4 µm.
Wtedy stała sieciowa N wynosi:
N=1/d ≈ 714 linii na 1 mm.
Światło normalnie pada na siatkę dyfrakcyjną o okresie 5 mikronów. Wiedząc, że długość fali λ=600 nm, konieczne jest znalezienie kątów, pod którymi pojawią się maksima pierwszego i drugiego rzędu
Dla pierwszego maksimum otrzymujemy:
sin(θ1)=λ/d=>θ1=arcsin(λ/d) ≈ 6, 9 o.
Drugie maksimum pojawi się dla kąta θ2:
θ2=arcsin(2λ/d) ≈ 13, 9o.
Światło monochromatyczne pada na siatkę dyfrakcyjną z okresem 2 mikronów. Jego długość fali to 550 nm. Konieczne jest ustalenie, ile rzędów dyfrakcji pojawi się w wynikowym obrazie na ekranie
Ten typ problemu jest rozwiązywany w następujący sposób: najpierw należy określić zależność kąta θm od rzędu dyfrakcji dla warunków problemu. Następnie należy wziąć pod uwagę, że funkcja sinus nie może przyjmować wartości większych niż jeden. Ten ostatni fakt pozwoli nam odpowiedzieć na ten problem. Zróbmy opisane czynności:
sin(θm)=mλ/d=0, 275m.
Ta równość pokazuje, że gdy m=4, wyrażenie po prawej stronie staje się równe 1,1, a przy m=3 będzie równe 0,825. Oznacza to, że stosując siatkę dyfrakcyjną o okresie 2 μm i długości fali 550 nm, można uzyskać maksymalnie 3 rząd dyfrakcji.
Problem obliczania rozdzielczości kraty
Załóżmy, że w eksperymencie wykorzystają siatkę dyfrakcyjną o okresie 10 mikronów. Należy obliczyć, o jaką minimalną długość fali mogą się różnić fale w pobliżu λ=580 nm, aby pojawiły się na ekranie jako oddzielne maksima.
Odpowiedź na ten problem wiąże się z wyznaczeniem rozdzielczości rozpatrywanej siatki dla danej długości fali. Zatem dwie fale mogą różnić się o Δλ>λ/(mN). Ponieważ stała sieci jest odwrotnie proporcjonalna do okresu d, wyrażenie to można zapisać w następujący sposób:
Δλ>λd/m.
Teraz dla długości fali λ=580 nm piszemy równanie sieci:
sin(θm)=mλ/d=0, 058m.
Gdzie otrzymamy, że maksymalny rząd m będzie równy 17. Podstawiając tę liczbę do wzoru na Δλ, otrzymujemy:
Δλ>58010-91010-6/17=3, 410- 13 lub 0,00034 nm.
Uzyskaliśmy bardzo wysoką rozdzielczość, gdy okres siatki dyfrakcyjnej wynosi 10 mikronów. W praktyce z reguły nie jest to osiągane ze względu na niskie natężenia maksimów wysokich rzędów dyfrakcji.
