Po przeczytaniu materiału czytelnik zrozumie, że planimetria wcale nie jest trudna. Artykuł zawiera najważniejsze informacje teoretyczne i formuły niezbędne do rozwiązania konkretnych problemów. Na półkach znajdują się ważne stwierdzenia i właściwości figur.
Definicja i ważne fakty
Planimetria to gałąź geometrii, która uwzględnia obiekty na płaskiej, dwuwymiarowej powierzchni. Można zidentyfikować kilka odpowiednich przykładów: kwadrat, koło, romb.
Warto wyróżnić między innymi punkt i linię. Są to dwie podstawowe koncepcje planimetrii.
Wszystko inne jest już na nich zbudowane, na przykład:
- Odcinek jest częścią prostej ograniczonej dwoma punktami.
- Promień jest obiektem podobnym do segmentu, jednak ma obramowanie tylko z jednej strony.
- Kąt składający się z dwóch promieni wychodzących z tego samego punktu.
Aksjomaty i twierdzenia
Przyjrzyjmy się bliżej aksjomatom. W planimetrii są to najważniejsze zasady, według których działa cała nauka. Tak i nie tylko w nim. Za pomocąz definicji są to stwierdzenia, które nie wymagają dowodu.
Aksjomaty, które zostaną omówione poniżej, są częścią tak zwanej geometrii euklidesowej.
- Są dwie kropki. Zawsze można przez nie narysować jedną linię.
- Jeśli linia istnieje, to są punkty, które leżą na niej i punkty, które na niej nie leżą.
Te 2 stwierdzenia nazywane są aksjomatami członkostwa, a następujące są w porządku:
- Jeżeli na linii prostej znajdują się trzy punkty, jeden z nich musi znajdować się między pozostałymi dwoma.
- Samolot jest podzielony dowolną linią prostą na dwie części. Gdy końce segmentu leżą na jednej połowie, to cały obiekt należy do niego. W przeciwnym razie oryginalna linia i segment mają punkt przecięcia.
Aksjomaty miar:
- Każdy segment ma niezerową długość. Jeśli punkt podzieli go na kilka części, to ich suma będzie równa pełnej długości obiektu.
- Każdy kąt ma pewną miarę stopnia, która nie jest równa zeru. Jeśli podzielisz go belką, to początkowy kąt będzie równy sumie utworzonych.
Równolegle:
Na płaszczyźnie jest prosta linia. Przez dowolny punkt, który do niego nie należy, można narysować tylko jedną linię prostą równoległą do podanej
Twierdzenia w planimetrii nie są już całkiem fundamentalnymi twierdzeniami. Zazwyczaj przyjmuje się je jako fakt, ale każdy z nich ma dowód zbudowany na wspomnianych powyżej podstawowych pojęciach. Poza tym jest ich dużo. Rozebranie wszystkiego będzie dość trudne, ale przedstawiony materiał będzie zawierał trochęz nich.
Następujące dwa są warte wcześniejszego sprawdzenia:
- Suma kątów sąsiednich wynosi 180 stopni.
- Kąty pionowe mają tę samą wartość.
Te dwa twierdzenia mogą być przydatne w rozwiązywaniu problemów geometrycznych związanych z n-gonami. Są dość proste i intuicyjne. Warto je zapamiętać.
Trójkąty
Trójkąt to figura geometryczna składająca się z trzech kolejno połączonych segmentów. Są one klasyfikowane według kilku kryteriów.
Po bokach (proporcje wynikają z nazw):
- Równoboczny.
- Równoramienny - dwa boki i przeciwne kąty są odpowiednio równe.
- Wszechstronny.
Na rogach:
- ostre pod kątem;
- prostokątny;
- rozwarty.
Dwa rogi zawsze będą ostre, niezależnie od sytuacji, a trzeci zależy od pierwszej części słowa. Oznacza to, że trójkąt prostokątny ma jeden z kątów równy 90 stopniom.
Właściwości:
- Im większy kąt, tym większa strona przeciwna.
- Suma wszystkich kątów wynosi 180 stopni.
- Obszar można obliczyć za pomocą wzoru: S=½ ⋅ h ⋅ a, gdzie a jest bokiem, h jest narysowaną do niego wysokością.
- Zawsze możesz wpisać okrąg w trójkącie lub opisać go wokół niego.
Jednym z podstawowych wzorów planimetrii jest twierdzenie Pitagorasa. Działa wyłącznie dla trójkąta prostokątnego i brzmi tak: kwadratprzeciwprostokątna jest równa sumie kwadratów nóg: AB2 =AC2 + BC2.
Przeciwprostokątna jest stroną przeciwną do kąta 90°, a nogi są stroną przyległą.
Kwadagony
Jest wiele informacji na ten temat. Poniżej znajdują się tylko te najważniejsze.
Niektóre odmiany:
- Parallelogram - przeciwległe boki są równe i równoległe w parach.
- Romb to równoległobok, którego boki są tej samej długości.
- Prostokąt - równoległobok z czterema kątami prostymi
- Kwadrat jest jednocześnie rombem i prostokątem.
- Trapez - tylko dwa przeciwległe boki są równoległe.
Właściwości:
- Suma kątów wewnętrznych wynosi 360 stopni.
- Pole można zawsze obliczyć za pomocą wzoru: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), gdzie p to połowa obwodu, a, b, c, d to boki rysunek.
- Jeśli okrąg można opisać wokół czworoboku, to nazywam go wypukłym, jeśli nie - niewypukłym.
