Postęp ludzkości jest w dużej mierze zasługą odkryć dokonanych przez geniuszy. Jednym z nich jest Blaise Pascal. Jego twórcza biografia po raz kolejny potwierdza prawdziwość sformułowania Lwa Feuchtwangera „Osoba utalentowana, we wszystkim utalentowana”. Wszystkie osiągnięcia naukowe tego wielkiego naukowca są trudne do policzenia. Wśród nich jest jeden z najbardziej eleganckich wynalazków w świecie matematyki - trójkąt Pascala.
Kilka słów o geniuszu
Blaise Pascal zmarł wcześnie według współczesnych standardów, w wieku 39 lat. Jednak w swoim krótkim życiu wyróżnił się jako wybitny fizyk, matematyk, filozof i pisarz. Wdzięczni potomkowie nazwali na jego cześć jednostkę nacisku i popularny język programowania Pascal. Jest używany od prawie 60 lat do nauki pisania różnych kodów. Na przykład z jego pomocą każdy uczeń może napisać program do obliczania pola trójkąta w Pascalu, a także zbadać właściwości obwodu, októre zostaną omówione poniżej.
Działalność tego naukowca o niezwykłym sposobie myślenia obejmuje szeroki wachlarz dziedzin nauki. W szczególności Blaise Pascal jest jednym z twórców hydrostatyki, analizy matematycznej, niektórych dziedzin geometrii i teorii prawdopodobieństwa. Ponadto on:
- utworzył mechaniczny kalkulator znany jako koło Pascala;
- dostarczyły eksperymentalnych dowodów na to, że powietrze ma elastyczność i wagę;
- ustalono, że barometr może być używany do przewidywania pogody;
- wynalazł taczkę;
- wynalazł omnibus - powozy konne o stałych trasach, które później stały się pierwszym rodzajem regularnego transportu publicznego itp.
Trójkąt arytmetyczny Pascala
Jak już wspomniano, ten wielki francuski naukowiec wniósł ogromny wkład w nauki matematyczne. Jednym z jego absolutnych arcydzieł naukowych jest „Traktat o trójkącie arytmetycznym”, który składa się ze współczynników dwumianowych ułożonych w określonej kolejności. Właściwości tego schematu uderzają swoją różnorodnością, a samo to potwierdza przysłowie „Wszystko genialne jest proste!”.
Trochę historii
Szczerze trzeba powiedzieć, że w rzeczywistości trójkąt Pascala był znany w Europie już na początku XVI wieku. W szczególności jego wizerunek można zobaczyć na okładce podręcznika do arytmetyki autorstwa słynnego astronoma Petera Apiana z Uniwersytetu w Ingolstadt. Podobny trójkąt pokazano również jako ilustracja.w książce chińskiego matematyka Yang Hui, opublikowanej w 1303 roku. Znany perski poeta i filozof Omar Chajjam również był świadom jego właściwości na początku XII wieku. Co więcej, uważa się, że spotkał go z wcześniej napisanych traktatów arabskich i indyjskich naukowców.
Opis
Zanim poznasz najciekawsze właściwości trójkąta Pascala, pięknego w swej doskonałości i prostocie, warto wiedzieć, czym on jest.
Z naukowego punktu widzenia ten schemat numeryczny jest nieskończoną trójkątną tablicą utworzoną ze współczynników dwumianowych ułożonych w określonej kolejności. U góry i po bokach znajdują się liczby 1. Pozostałe pozycje zajmują liczby równe sumie dwóch liczb znajdujących się nad nimi obok siebie. Co więcej, wszystkie linie trójkąta Pascala są symetryczne względem jego osi pionowej.
Podstawowe funkcje
Trójkąt Pascala uderza swoją perfekcją. Dla dowolnej linii o numerze n (n=0, 1, 2…) prawda:
- pierwsza i ostatnia liczba to 1;
- druga i przedostatnia - n;
- trzecia liczba jest równa liczbie trójkątnej (liczba kół, które można ułożyć w trójkącie równobocznym, tj. 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Czwarta liczba jest czworościenna, tzn. jest to piramida z trójkątem u podstawy.
Ponadto stosunkowo niedawno, bo w 1972 r., ustalono inną właściwość trójkąta Pascala. Aby dla niegoaby się dowiedzieć, musisz napisać elementy tego schematu w postaci tabeli z przesunięciem wiersza o 2 pozycje. Następnie zanotuj liczby podzielne przez numer wiersza. Okazuje się, że numer kolumny, w której wszystkie liczby są podświetlone, jest liczbą pierwszą.
Tę samą sztuczkę można wykonać w inny sposób. W tym celu w trójkącie Pascala liczby są zastępowane resztą ich dzielenia przez numer wiersza w tabeli. Następnie linie są ułożone w powstały trójkąt tak, że następna zaczyna się 2 kolumny w prawo od pierwszego elementu poprzedniego. Wtedy kolumny z liczbami pierwszymi będą składać się tylko z zer, a te z liczbami złożonymi będą zawierać co najmniej jedno zero.
Połączenie z dwumianem Newtona
Jak wiecie, jest to nazwa wzoru na rozwinięcie w wyrażenia nieujemnej potęgi całkowitej sumy dwóch zmiennych, która wygląda następująco:
Obecne w nich współczynniki są równe C m =n! / (m! (n - m)!), gdzie m jest liczbą porządkową w rzędzie n trójkąta Pascala. Innymi słowy, mając pod ręką tę tabelę, możesz łatwo podnieść dowolne liczby do potęgi, uprzednio rozkładając je na dwa wyrazy.
Tak więc trójkąt Pascala i dwumian Newtona są ze sobą ściśle powiązane.
Cuda matematyczne
Dokładne zbadanie trójkąta Pascala ujawnia, że:
- suma wszystkich liczb w wierszu znumer seryjny n (licząc od 0) to 2;
- jeśli wiersze są wyrównane do lewej, to sumy liczb, które znajdują się na przekątnych trójkąta Pascala, idąc od dołu do góry i od lewej do prawej, są równe liczbom Fibonacciego;
- pierwsza "przekątna" składa się z liczb naturalnych w kolejności;
- dowolny element z trójkąta Pascala, pomniejszony o jeden, jest równy sumie wszystkich liczb znajdujących się wewnątrz równoległoboku, który jest ograniczony przez przecinające się lewą i prawą przekątną na tej liczbie;
- w każdym wierszu diagramu suma liczb w miejscach parzystych jest równa sumie elementów w miejscach nieparzystych.
Trójkąt Sierpińskiego
Tak ciekawy schemat matematyczny, całkiem obiecujący pod względem rozwiązywania złożonych problemów, uzyskuje się poprzez pokolorowanie liczb parzystych obrazu Pascala w jednym kolorze, a liczb nieparzystych w innym.
Trójkąt Sierpińskiego można zbudować w inny sposób:
- w zacienionym schemacie Pascala środkowy trójkąt jest przemalowywany na inny kolor, który powstaje przez połączenie punktów środkowych boków oryginalnego;
- zrób dokładnie to samo z trzema niepomalowanymi znajdującymi się w rogach;
- jeśli procedura jest kontynuowana w nieskończoność, wynikiem powinna być dwukolorowa figura.
Najciekawszą właściwością trójkąta Sierpińskiego jest jego samopodobieństwo, ponieważ składa się z 3 jego kopii, które są pomniejszone 2 razy. Pozwala to na przypisanie tego schematu do krzywych fraktalnych, a one, jak pokazują najnowszebadania najlepiej nadają się do matematycznego modelowania chmur, roślin, delt rzek i samego wszechświata.
Kilka ciekawych zadań
Gdzie jest używany trójkąt Pascala? Przykładowe zadania, które można za jego pomocą rozwiązać, są dość różnorodne i należą do różnych dziedzin nauki. Rzućmy okiem na niektóre z ciekawszych.
Problem 1. Niektóre duże miasta otoczone murem twierdzy mają tylko jedną bramę wejściową. Na pierwszym skrzyżowaniu główna droga rozdziela się na dwie części. To samo dzieje się z każdym innym. Do miasta wjeżdża 210 osób. Na każdym ze skrzyżowań, które spotykają, są dzielone na pół. Ile osób znajdzie się na każdym skrzyżowaniu, kiedy nie będzie już możliwe udostępnianie. Jej odpowiedzią jest wiersz 10 trójkąta Pascala (wzór na współczynnik przedstawiony powyżej), gdzie liczby 210 znajdują się po obu stronach osi pionowej.
Zadanie 2. Jest 7 nazw kolorów. Musisz zrobić bukiet z 3 kwiatów. Należy dowiedzieć się, na ile różnych sposobów można to zrobić. Ten problem pochodzi z dziedziny kombinatoryki. Aby go rozwiązać, ponownie korzystamy z trójkąta Pascala i otrzymujemy w 7. wierszu na trzeciej pozycji (numerując w obu przypadkach od 0) liczbę 35.
Teraz wiesz, co wynalazł wielki francuski filozof i naukowiec Blaise Pascal. Jego słynny trójkąt, jeśli zostanie właściwie użyty, może stać się prawdziwym ratunkiem przy rozwiązywaniu wielu problemów, zwłaszcza w tereniekombinatoryka. Ponadto może być używany do rozwiązywania wielu zagadek związanych z fraktalami.
