Geometria jest piękna, ponieważ w przeciwieństwie do algebry, gdzie nie zawsze jest jasne, co myślisz i dlaczego, daje ona widoczność obiektowi. Ten wspaniały świat różnych ciał ozdobiony jest regularnymi wielościanami.
Ogólne informacje na temat wielościanów foremnych
Według wielu wielościanów foremnych, lub jak nazywa się je również bryłami platońskimi, mają unikalne właściwości. Z tymi obiektami wiąże się kilka hipotez naukowych. Kiedy zaczynasz studiować te geometryczne ciała, rozumiesz, że praktycznie nic nie wiesz o takim pojęciu jak wielościany regularne. Prezentacja tych przedmiotów w szkole nie zawsze jest ciekawa, więc wielu nawet nie pamięta, jak się nazywają. Większość ludzi pamięta tylko kostkę. Żadne z ciał w geometrii nie jest tak doskonałe jak zwykłe wielościany. Wszystkie nazwy tych geometrycznych ciał pochodzą ze starożytnej Grecji. Oznaczają liczbę ścian: czworościan - czworoboczny, sześcian - sześcioboczny, ośmiościan - ośmiościan, dwunastościan - dwunastościan, dwudziestościan - dwudziestościenny. Wszystkie te geometryczne ciałazajmował ważne miejsce w koncepcji wszechświata Platona. Cztery z nich personifikowały elementy lub byty: czworościan - ogień, dwudziestościan - woda, sześcian - ziemia, ośmiościan - powietrze. Dwunastościan zawierał wszystko, co istnieje. Był uważany za główny, ponieważ był symbolem wszechświata.
Uogólnienie pojęcia wielościanu
Wielościan to zbiór skończonej liczby wielokątów, takich jak:
- każdy z boków dowolnego wielokąta jest jednocześnie bokiem tylko jednego innego wielokąta po tej samej stronie;
- z każdego wielokąta możesz przejść do pozostałych, przechodząc wzdłuż sąsiadujących z nim wielokątów.
Wielokąty tworzące wielościan to jego ściany, a ich boki to krawędzie. Wierzchołki wielościanów są wierzchołkami wielokątów. Jeśli pojęcie wielokąta rozumieć jako płaskie, zamknięte linie łamane, to dochodzimy do jednej definicji wielościanu. W przypadku, gdy pojęcie to oznacza część płaszczyzny, która jest ograniczona liniami łamanymi, to należy rozumieć powierzchnię złożoną z kawałków wielokąta. Wielościan wypukły to ciało leżące po jednej stronie płaszczyzny przylegającej do jego lica.
Inna definicja wielościanu i jego elementów
Wielościan to powierzchnia składająca się z wielokątów, która ogranicza bryłę geometryczną. Są to:
- nie wypukłe;
- wypukły (poprawny i niepoprawny).
Wielościan foremny to wielościan wypukły o maksymalnej symetrii. Elementy wielościanów foremnych:
- czworościan: 6 krawędzi, 4 ściany, 5 wierzchołków;
- sześcian (kostka): 12, 6, 8;
- dwunastościan: 30, 12, 20;
- oktaedron: 12, 8, 6;
- ikosahedron: 30, 20, 12.
Twierdzenie Eulera
Ustanawia związek między liczbą krawędzi, wierzchołków i ścian, które są topologicznie równoważne sferze. Dodając liczbę wierzchołków i ścian (B + D) różnych wielościanów foremnych i porównując je z liczbą krawędzi można ustalić jeden wzór: suma liczby ścian i wierzchołków równa się liczbie krawędzi (P) zwiększona przez 2. Możesz wyprowadzić prosty wzór:
B + D=R + 2
Ta formuła jest prawdziwa dla wszystkich wielościanów wypukłych.
Podstawowe definicje
Pojęcia wielościanu foremnego nie da się opisać jednym zdaniem. Jest bardziej znaczący i obszerny. Aby ciało zostało uznane za takie, musi spełniać szereg definicji. Tak więc ciało geometryczne będzie wielościanem foremnym, jeśli zostaną spełnione następujące warunki:
- jest wypukły;
- ta sama liczba krawędzi zbiega się w każdym z jego wierzchołków;
- wszystkie jego powierzchnie są regularnymi wielokątami, równymi sobie;
- wszystkie jego dwuścienne kąty są równe.
Właściwości wielościanów foremnych
Istnieje 5 różnych typów wielościanów regularnych:
- Kostka (sześcian) - ma płaski kąt u góry wynoszący 90°. Ma trójstronny kąt. Suma płaskich kątów na górze wynosi 270°.
- Tetrahedron - płaski kąt u góry - 60°. Ma trójstronny kąt. Suma płaskich kątów na górze wynosi 180°.
- Oktahedron - kąt płaskiego wierzchołka - 60°. Posiada czterostronny narożnik. Suma płaskich kątów na górze wynosi 240°.
- Dwunastościan - płaski kąt w wierzchołku 108°. Ma trójstronny kąt. Suma płaskich kątów na górze wynosi 324°.
- Cosahedron - ma płaski kąt u góry - 60°. Ma 5-stronny kąt. Suma płaskich kątów na górze wynosi 300°.
Obszar wielościanów regularnych
Powierzchnia tych ciał geometrycznych (S) jest obliczana jako powierzchnia wielokąta foremnego pomnożona przez liczbę jego ścian (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Objętość wielościanu foremnego
Ta wartość jest obliczana poprzez pomnożenie objętości piramidy foremnej, u podstawy której znajduje się wielokąt foremny, przez liczbę ścian, a jej wysokość jest promieniem wpisanego kuli (r):
V=1: 3rS
Objętości wielościanów foremnych
Jak każde inne ciało geometryczne, wielościany foremne mają różne objętości. Poniżej znajdują się wzory, według których można je obliczyć:
- czworościan: α x 3√2: 12;
- oktaedr: α x 3√2: 3;
- ikosahedron; α x 3;
- sześcian (sześcian): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dwunastościan: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elementy wielościanów foremnych
Sześcian i ośmiościan to podwójne bryły geometryczne. Innymi słowy, można je uzyskać od siebie, jeśli środek ciężkości powierzchni jednej zostanie przyjęty jako wierzchołek drugiej i na odwrót. Dwudziestościan i dwunastościan są również podwójne. Tylko czworościan jest podwójny do siebie. Zgodnie z metodą Euclid, dwunastościan można uzyskać z sześcianu, budując „dachy” na ścianach sześcianu. Wierzchołki czworościanu będą dowolnymi 4 wierzchołkami sześcianu, które nie sąsiadują parami wzdłuż krawędzi. Z sześcianu (kostki) można uzyskać inne regularne wielościany. Pomimo tego, że istnieje niezliczona ilość wielokątów foremnych, istnieje tylko 5 wielościanów foremnych.
Promień regularnych wielokątów
Istnieją 3 koncentryczne sfery związane z każdym z tych geometrycznych ciał:
- opisane, przechodzące przez jej szczyty;
- wpisany, dotykający każdej z jego twarzy w środku;
- mediana, dotykająca wszystkich krawędzi w środku.
Promień opisywanej kuli jest obliczany według następującego wzoru:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Promień kuli wpisanej jest obliczany według wzoru:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
gdzie θ jest kątem dwuściennym między sąsiednimi ścianami.
Promień sfery środkowej można obliczyć za pomocą następującego wzoru:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
gdzie wartość h=4, 6, 6, 10 lub 10. Stosunek promienia opisanego i wpisanego jest symetryczny względem p i q. Onoobliczona według wzoru:
R/r=tg π/p x tg π/q
Symetria wielościanów
Symetria wielościanów foremnych jest głównym powodem zainteresowania tymi ciałami geometrycznymi. Jest rozumiany jako taki ruch ciała w przestrzeni, który pozostawia taką samą liczbę wierzchołków, ścian i krawędzi. Innymi słowy, pod wpływem transformacji symetrii krawędź, wierzchołek, ściana albo zachowuje swoją pierwotną pozycję, albo przesuwa się do pierwotnej pozycji innej krawędzi, wierzchołka lub ściany.
Elementy symetrii wielościanów foremnych są charakterystyczne dla wszystkich typów takich ciał geometrycznych. Tutaj mówimy o identycznej transformacji, która pozostawia dowolny punkt w swojej pierwotnej pozycji. Tak więc, gdy obrócisz wielokątny pryzmat, możesz uzyskać kilka symetrii. Każdy z nich można przedstawić jako produkt odbić. Symetrię będącą iloczynem parzystej liczby odbić nazywamy linią prostą. Jeśli jest iloczynem nieparzystej liczby odbić, nazywa się to odwrotnością. Zatem wszystkie obroty wokół prostej są symetrią prostą. Każde odbicie wielościanu jest odwrotną symetrią.
Aby lepiej zrozumieć elementy symetrii wielościanu foremnego, możemy posłużyć się przykładem czworościanu. Każda linia prosta, która przejdzie przez jeden z wierzchołków i środek tej figury geometrycznej, będzie również przechodzić przez środek twarzy naprzeciwko niej. Każdy z obrotów o 120° i 240° wokół linii jest liczbą mnogą.symetria czworościanu. Ponieważ ma 4 wierzchołki i 4 ściany, istnieje tylko osiem bezpośrednich symetrii. Każda z linii przechodzących przez środek krawędzi i środek tego ciała przechodzi przez środek jego przeciwległej krawędzi. Dowolny obrót o 180°, zwany półobrotem, wokół linii prostej jest symetrią. Ponieważ czworościan ma trzy pary krawędzi, istnieją trzy bardziej bezpośrednie symetrie. Na podstawie powyższego możemy wywnioskować, że całkowita liczba symetrii bezpośrednich, w tym identyczna transformacja, osiągnie dwanaście. Czworościan nie ma innych symetrii bezpośrednich, ale ma 12 symetrii odwrotnych. Dlatego czworościan charakteryzuje się łącznie 24 symetriami. Dla jasności możesz zbudować model czworościanu foremnego z tektury i upewnić się, że to geometryczne ciało ma naprawdę tylko 24 symetrie.
Dwunastościan i dwudziestościan są najbliżej sfery ciała. Dwudziestościan ma największą liczbę ścian, największy kąt dwuścienny i może być najmocniej dociśnięty do wpisanej kuli. Dwunastościan ma najmniejszą wadę kątową, największy kąt bryłowy na wierzchołku. Potrafi maksymalnie wypełnić swoją opisaną sferę.
Wymiatania wielościanów
Zwykłe, nieopakowane wielościany, które wszyscy sklejaliśmy w dzieciństwie, mają wiele koncepcji. Jeśli istnieje zbiór wielokątów, których każdy bok jest identyfikowany tylko z jednym bokiem wielościanu, to identyfikacja boków musi spełniać dwa warunki:
- z każdego wielokąta możesz przejść przez wielokąty, które majązidentyfikowana strona;
- zidentyfikowane boki muszą mieć tę samą długość.
Jest to zbiór wielokątów, które spełniają te warunki, który nazywamy rozwojem wielościanu. Każde z tych ciał ma ich kilka. Na przykład kostka ma ich 11.
