W matematyce funkcje odwrotne są wzajemnie odpowiadającymi wyrażeniami, które zamieniają się w siebie. Aby zrozumieć, co to oznacza, warto rozważyć konkretny przykład. Powiedzmy, że mamy y=cos(x). Jeśli weźmiemy cosinus z argumentu, to możemy znaleźć wartość y. Oczywiście do tego musisz mieć x. Ale co, jeśli gracz zostanie początkowo podany? Tutaj dochodzi do sedna sprawy. Aby rozwiązać problem, wymagane jest użycie funkcji odwrotnej. W naszym przypadku jest to arcus cosinus.
Po wszystkich przekształceniach otrzymujemy: x=arccos(y).
Oznacza to, że aby znaleźć funkcję odwrotną do podanej, wystarczy wyrazić z niej argument. Ale to działa tylko wtedy, gdy wynik będzie miał jedną wartość (więcej o tym później).
Ogólnie rzecz biorąc, fakt ten można zapisać w następujący sposób: f(x)=y, g(y)=x.
Definicja
Niech f będzie funkcją, której dziedziną jest zbiór X, azakresem wartości jest zbiór Y. Wtedy, jeśli istnieje g, którego domeny wykonują przeciwne zadania, to f jest odwracalne.
Poza tym, w tym przypadku g jest unikatowe, co oznacza, że istnieje dokładnie jedna funkcja, która spełnia tę właściwość (nie więcej, nie mniej). Wtedy nazywa się to funkcją odwrotną i na piśmie oznacza się ją następująco: g(x)=f -1(x).
Innymi słowy, można je postrzegać jako relację binarną. Odwracalność ma miejsce tylko wtedy, gdy jeden element zestawu odpowiada jednej wartości z innej.
Nie zawsze istnieje funkcja odwrotna. Aby to zrobić, każdy element y є Y musi odpowiadać co najwyżej jednemu x є X. Wtedy f nazywa się jeden do jednego lub wtrysk. Jeśli f -1 należy do Y, to każdy element tego zbioru musi odpowiadać pewnym x ∈ X. Funkcje z tą właściwością nazywane są surjekcjami. Z definicji obowiązuje, jeśli Y jest obrazem f, ale nie zawsze tak jest. Aby funkcja była odwrotna, funkcja musi być zarówno wstrzyknięciem, jak i odrzuceniem. Takie wyrażenia nazywane są bijekcje.
Przykład: funkcje do kwadratu i pierwiastka
Funkcja jest zdefiniowana w [0, ∞) i podana wzorem f (x)=x2.
W takim razie nie jest to metoda iniekcyjna, ponieważ każdy możliwy wynik Y (oprócz 0) odpowiada dwóm różnym X - jednemu dodatniemu i jednemu ujemnemu, więc nie jest to odwracalne. W takim przypadku niemożliwe będzie uzyskanie danych wyjściowych z otrzymanych, co przeczyteorie. To będzie nieiniektywne.
Jeżeli dziedzina definicji jest warunkowo ograniczona do wartości nieujemnych, wtedy wszystko będzie działać jak poprzednio. Wtedy jest bijektywna, a więc odwracalna. Funkcja odwrotna tutaj nazywana jest dodatnią.
Uwaga do wpisu
Niech oznaczenie f -1 (x) może zmylić osobę, ale w żadnym wypadku nie powinno być używane w ten sposób: (f (x)) - 1 . Odnosi się do zupełnie innej koncepcji matematycznej i nie ma nic wspólnego z funkcją odwrotną.
Z reguły niektórzy autorzy używają wyrażeń takich jak sin-1 (x).
Jednak inni matematycy uważają, że może to powodować zamieszanie. Aby uniknąć takich trudności, odwrotne funkcje trygonometryczne są często oznaczane przedrostkiem „arc” (od łacińskiego arc). W naszym przypadku mówimy o arcus sinus. Czasami możesz także zobaczyć przedrostek "ar" lub "inv" dla niektórych innych funkcji.
