Nawet w szkole wszyscy uczniowie zapoznają się z pojęciem „geometrii euklidesowej”, której główne postanowienia skupiają się wokół kilku aksjomatów opartych na takich elementach geometrycznych jak punkt, płaszczyzna, linia, ruch. Wszystkie razem tworzą to, co od dawna znane jest pod nazwą „przestrzeń euklidesowa”.
Przestrzeń euklidesowa, której definicja opiera się na koncepcji skalarnego mnożenia wektorów, jest szczególnym przypadkiem przestrzeni liniowej (afinicznej), która spełnia szereg wymagań. Po pierwsze, iloczyn skalarny wektorów jest absolutnie symetryczny, to znaczy wektor o współrzędnych (x;y) jest ilościowo identyczny z wektorem o współrzędnych (y;x), ale przeciwny w kierunku.
Po drugie, jeśli zostanie wykonany iloczyn skalarny wektora z samym sobą, to wynik tego działania będzie dodatni. Jedynym wyjątkiem będzie przypadek, gdy współrzędne początkowe i końcowe tego wektora będą równe zero: w tym przypadku jego iloczyn z samym sobą również będzie równy zero.
Po trzecie, iloczyn skalarny jest rozdzielczy, tzn. można rozłożyć jedną z jego współrzędnych na sumę dwóch wartości, co nie pociąga za sobą żadnych zmian w końcowym wyniku skalarnego mnożenia wektorów. Wreszcie, po czwarte, gdy wektory są pomnożone przez tę samą liczbę rzeczywistą, ich iloczyn skalarny również wzrośnie o ten sam współczynnik.
Jeśli wszystkie te cztery warunki są spełnione, możemy śmiało powiedzieć, że mamy przestrzeń euklidesową.
Przestrzeń euklidesową z praktycznego punktu widzenia można scharakteryzować za pomocą następujących konkretnych przykładów:
- Najprostszym przypadkiem jest obecność zbioru wektorów z iloczynem skalarnym zdefiniowanym zgodnie z podstawowymi prawami geometrii.
- Przestrzeń euklidesowa będzie również otrzymana, jeśli przez wektory będziemy rozumieć pewien skończony zbiór liczb rzeczywistych o określonym wzorze opisującym ich sumę skalarną lub iloczyn.
- Szczególnym przypadkiem przestrzeni euklidesowej jest tak zwana przestrzeń zerowa, którą uzyskuje się, gdy długość skalarna obu wektorów jest równa zero.
Przestrzeń euklidesowa ma wiele specyficznych właściwości. Po pierwsze, czynnik skalarny można wyjąć z nawiasów zarówno z pierwszego, jak i drugiego czynnika iloczynu skalarnego, wynik z tego nie zmieni się w żaden sposób. Po drugie, wraz z rozdzielnością pierwszego elementu skalaraproduktu, działa również dystrybucyjność drugiego elementu. Ponadto, oprócz sumy skalarnej wektorów, rozdzielność ma również miejsce w przypadku odejmowania wektorów. Wreszcie po trzecie, gdy wektor jest skalarnie pomnożony przez zero, wynik również będzie równy zero.
Zatem przestrzeń euklidesowa jest najważniejszą koncepcją geometryczną stosowaną w rozwiązywaniu problemów z wzajemnym rozmieszczeniem wektorów względem siebie, którą charakteryzuje takie pojęcie jak iloczyn skalarny.
