Co to są zmienne? Zmienna w matematyce

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-02 17:54

Znaczenie zmiennych w matematyce jest ogromne, ponieważ w trakcie jej istnienia naukowcom udało się dokonać wielu odkryć w tej dziedzinie, a żeby zwięźle i jasno sformułować to czy tamto twierdzenie, używamy zmiennych do napisania odpowiednich formuł. Na przykład twierdzenie Pitagorasa o trójkącie prostokątnym: a² =b² + c^{2. Jak pisać za każdym razem przy rozwiązywaniu problemu: zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg - zapisujemy to wzorem i od razu wszystko staje się jasne.}

Tak więc w tym artykule omówimy, czym są zmienne, ich typy i właściwości. Rozważane będą również różne wyrażenia matematyczne: nierówności, wzory, systemy i algorytmy ich rozwiązywania.

Koncepcja zmiennej

Po pierwsze, czym jest zmienna? Jest to wartość liczbowa, która może przyjmować wiele wartości. Nie może być stała, ponieważ w różnych problemach i równaniach dla wygody przyjmujemy rozwiązania jakozmienna różne liczby, to znaczy na przykład z jest ogólnym oznaczeniem dla każdej z wielkości, dla których jest brana. Zazwyczaj są one oznaczane literami alfabetu łacińskiego lub greckiego (x, y, a, b itd.).

Istnieją różne rodzaje zmiennych. Ustalają zarówno pewne wielkości fizyczne - drogę (S), czas (t), jak i po prostu nieznane wartości w równaniach, funkcjach i innych wyrażeniach.

Na przykład istnieje formuła: S=Vt. Tutaj zmienne oznaczają pewne wielkości związane ze światem rzeczywistym - drogę, prędkość i czas.

I jest równanie postaci: 3x - 16=12x. Tutaj x jest już traktowane jako abstrakcyjna liczba, która ma sens w tej notacji.

Rodzaje ilości

Kwota oznacza coś, co wyraża właściwości określonego przedmiotu, substancji lub zjawiska. Np. temperatura powietrza, waga zwierzęcia, procent witamin w tabletce - to wszystko wielkości, których wartości liczbowe można obliczyć.

Każda ilość ma swoje własne jednostki miary, które razem tworzą system. Nazywa się to systemem liczbowym (SI).

Co to są zmienne i stałe? Rozważ je na konkretnych przykładach.

Weźmy prostoliniowy ruch jednostajny. Punkt w przestrzeni porusza się za każdym razem z tą samą prędkością. Oznacza to, że czas i odległość się zmieniają, ale prędkość pozostaje taka sama. W tym przykładzie czas i odległość są zmiennymi, a prędkość jest stała.

Lub, na przykład „pi”. To jest irracjonalna liczba, która trwa bez powtarzaniaciąg cyfr i nie można go zapisać w całości, więc w matematyce wyraża się to ogólnie przyjętym symbolem, który przyjmuje tylko wartość danego ułamka nieskończonego. Oznacza to, że „pi” jest wartością stałą.

Historia

Historia zapisu zmiennych zaczyna się w XVII wieku od naukowca René Descartesa.

Znane wartości oznaczył pierwszymi literami alfabetu: a, b itd., a dla niewiadomych zasugerował użycie ostatnich liter: x, y, z. Warto zauważyć, że Kartezjusz uważał takie zmienne za liczby nieujemne, a w obliczu ujemnych parametrów postawił przed zmienną znak minus lub, jeśli nie wiadomo, jaki to znak, wielokropek. Ale z biegiem czasu nazwy zmiennych zaczęły oznaczać liczby dowolnego znaku, a zaczęło się to od matematyka Johanna Hudde.

Dzięki zmiennym obliczenia matematyczne są łatwiejsze do rozwiązania, ponieważ na przykład jak teraz rozwiązujemy równania dwukwadratowe? Wprowadzamy zmienną. Na przykład:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Dla x2 bierzemy k i równanie staje się jasne:

x2=k, dla k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

To właśnie wprowadzenie zmiennych wnosi do matematyki.

Nierówności, przykłady rozwiązań

Nierówność to zapis, w którym dwa wyrażenia matematyczne lub dwie liczby są połączone znakami porównania:, ≦, ≧. Są one ścisłe i są oznaczone znakami lub nieścisłe znakami ≦, ≧.

Po raz pierwszy wprowadzono te znakiThomasa Harriota. Po śmierci Thomasa opublikowano jego książkę z tymi zapisami, które spodobały się matematykom i z czasem stały się one szeroko stosowane w obliczeniach matematycznych.

Istnieje kilka zasad, których należy przestrzegać podczas rozwiązywania nierówności pojedynczych zmiennych:

Przenosząc liczbę z jednej części nierówności na drugą, zmień jej znak na przeciwny.
Podczas mnożenia lub dzielenia części nierówności przez liczbę ujemną, ich znaki są odwrócone.
Jeśli pomnożysz lub podzielisz obie strony nierówności przez liczbę dodatnią, otrzymasz nierówność równą oryginalnej.

Rozwiązanie nierówności oznacza znalezienie wszystkich poprawnych wartości dla zmiennej.

Przykład pojedynczej zmiennej:

10x - 50 > 150

Rozwiązujemy to jak normalne równanie liniowe - przenosimy wyrazy ze zmienną w lewo, bez zmiennej - w prawo i podajemy podobne wyrazy:

10x > 200

Dzielimy obie strony nierówności przez 10 i otrzymujemy:

x > 20

Dla jasności, w przykładzie rozwiązania nierówności za pomocą jednej zmiennej narysuj oś liczbową, zaznacz na niej przebity punkt 20, ponieważ nierówność jest ścisła, a liczba ta nie jest zawarta w zbiorze jej rozwiązań.

Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział (20; +∞).

Rozwiązanie nierówności nieścisłej przeprowadza się w taki sam sposób, jak nierówności ścisłej:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Ale jest jeden wyjątek. Zapis postaci x ≧ 5 należy rozumieć następująco: x jest większe lub równe pięć, co oznaczaliczba pięć jest zawarta w zbiorze wszystkich rozwiązań nierówności, czyli pisząc odpowiedź, stawiamy przed liczbą pięć nawias kwadratowy.

x ∈ [5; +∞)

Nierówności kwadratowe

Jeśli weźmiemy równanie kwadratowe postaci ax2 + bx +c=0 i zamienimy w nim znak równości na znak nierówności, to otrzymamy odpowiednio nierówność kwadratowa.

Aby rozwiązać nierówność kwadratową, musisz umieć rozwiązywać równania kwadratowe.

y=ax2 + bx + c to funkcja kwadratowa. Możemy to rozwiązać za pomocą dyskryminatora lub za pomocą twierdzenia Vieta. Przypomnij sobie sposób rozwiązywania tych równań:

1) y=x2 + 12x + 11 – funkcja jest parabolą. Jego gałęzie są skierowane w górę, ponieważ znak współczynnika „a” jest dodatni.

2) x2 + 12x + 11=0 - przyrównać do zera i rozwiązać za pomocą dyskryminatora.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 pierwiastki

Zgodnie ze wzorem pierwiastków równania kwadratowego otrzymujemy:

x₁ =-1, x_2=-11

Albo możesz rozwiązać to równanie za pomocą twierdzenia Vieta:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Używając metody selekcji, otrzymujemy te same pierwiastki równania.

Parabola

Pierwszym sposobem rozwiązania nierówności kwadratowej jest parabola. Algorytm jego rozwiązania wygląda następująco:

1. Określ, dokąd skierowane są gałęzie paraboli.

2. Przyrównaj funkcję do zera i znajdź pierwiastki równania.

3. Budujemy oś liczbową, zaznaczamy na niej pierwiastki, rysujemy parabolę i znajdujemy potrzebną lukę w zależności od znaku nierówności.

Rozwiąż nierówności x2 + x - 12 > 0

Zapisz jako funkcję:

1) y=x2 + x - 12 - parabola, rozgałęzienia w górę.

Ustaw na zero.

2) x2 + x -12=0

Następnie rozwiązujemy równanie kwadratowe i znajdujemy zera funkcji:

x₁ =3, x_2=-4

3) Narysuj linię liczbową z punktami 3 i -4 na niej. Parabola przejdzie przez nie, rozgałęzia się, a odpowiedzią na nierówność będzie zbiór wartości dodatnich, czyli (-∞; -4), (3; +∞).

Metoda interwałowa

Drugim sposobem jest metoda odstępów. Algorytm do jego rozwiązania:

1. Znajdź pierwiastki równania, dla którego nierówność jest równa zero.

2. Zaznaczamy je na osi liczbowej. W związku z tym jest podzielony na kilka przedziałów.

3. Określ znak dowolnego przedziału.

4. W pozostałych odstępach umieszczamy znaki, zmieniając je po jednym.

Rozwiąż nierówność (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Zera nierówności: 4, 5 i -7.

2) Narysuj je na osi liczbowej.

3) Określ znaki interwałów.

Odpowiedź: (-∞; -7]; [4; 5]).

Rozwiąż jeszcze jedną nierówność: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Zera nierówności: 0, 2, -2 i 1.

2. Zaznacz je na osi liczbowej.

3. Określ znaki odstępu.

Linia jest podzielona na przedziały - od -2 do 0, od 0 do 1, od 1 do 2.

Pobierz wartość z pierwszego przedziału - (-1). Zastąp w nierówności. Przy tej wartości nierówność staje się dodatnia, co oznacza, że znak na tym przedziale będzie +.

Ponadto, zaczynając od pierwszej przerwy, układamy znaki, zmieniając je po jednej.

Nierówność jest większa od zera, to znaczy, że musisz znaleźć zbiór wartości dodatnich na linii.

Odpowiedź: (-2; 0), (1; 2)).

Układy równań

Układ równań z dwiema zmiennymi to dwa równania połączone nawiasem klamrowym, dla którego konieczne jest znalezienie wspólnego rozwiązania.

Systemy mogą być równoważne, jeśli ogólne rozwiązanie jednego z nich jest rozwiązaniem drugiego lub oba nie mają rozwiązań.

Będziemy badać rozwiązywanie układów równań z dwiema zmiennymi. Są dwa sposoby ich rozwiązania - metoda podstawienia lub metoda algebraiczna.

Metoda algebraiczna

Aby rozwiązać układ pokazany na rysunku za pomocą tej metody, musisz najpierw pomnożyć jedną z jego części przez taką liczbę, aby później można było wzajemnie usunąć jedną zmienną z obu części równania. Tutaj mnożymy przez trzy, rysujemy linię pod systemem i sumujemy jego części. W rezultacie x's stają się identyczne w module, ale przeciwne w znaku, i je zmniejszymy. Następnie otrzymujemy równanie liniowe z jedną zmienną i je rozwiązujemy.

Znaleźliśmy Y, ale nie możemy na tym poprzestać, ponieważ nie znaleźliśmy jeszcze X. ZastąpićY do części, z której wygodnie będzie wycofać X, na przykład:

-x + 5y=8, gdzie y=1

-x + 5=8

Rozwiąż otrzymane równanie i znajdź x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Najważniejszą rzeczą w rozwiązaniu systemu jest prawidłowe zapisanie odpowiedzi. Wielu uczniów popełnia błąd, pisząc:

Odpowiedź: -3, 1.

Ale to jest zły wpis. W końcu, jak już wspomniano powyżej, rozwiązując układ równań, szukamy ogólnego rozwiązania jego części. Prawidłowa odpowiedź to:

(-3; 1)