Logarytmy: przykłady i rozwiązania

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-02 17:54

Jak wiesz, mnożąc wyrażenia przez potęgi, ich wykładniki zawsze się sumują (a^ba^c=a^{b+ c). To matematyczne prawo zostało wyprowadzone przez Archimedesa, a później, w VIII wieku, matematyk Virasen stworzył tabelę wskaźników całkowitych. To oni służyli do dalszego odkrywania logarytmów. Przykłady użycia tej funkcji można znaleźć niemal wszędzie tam, gdzie wymagane jest uproszczenie kłopotliwego mnożenia do prostego dodawania. Jeśli poświęcisz 10 minut na przeczytanie tego artykułu, wyjaśnimy Ci, czym są logarytmy i jak z nimi pracować. Prosty i przystępny język.}

Definicja w matematyce

Logarytm jest wyrażeniem następującej postaci: log_ab=c c" do którego należy podnieść podstawę "a", aby w końcu otrzymać wartość " b". Przeanalizujmy logarytm na przykładach, powiedzmy, że istnieje wyrażenie log_{28. Jak znaleźć odpowiedź? To bardzo proste, musisz znaleźć taki stopień, aby od 2 do wymaganego stopnia uzyskać 8. Po wykonaniu pewnych obliczeń w głowie otrzymujemy liczbę 3! I to prawda, bo2 podniesione do potęgi 3 daje odpowiedź 8.}

Odmiany logarytmów

Dla wielu uczniów i studentów ten temat wydaje się skomplikowany i niezrozumiały, ale w rzeczywistości logarytmy nie są takie przerażające, najważniejsze jest zrozumienie ich ogólnego znaczenia i zapamiętanie ich właściwości i pewnych zasad. Istnieją trzy oddzielne rodzaje wyrażeń logarytmicznych:

Logarytm naturalny ln a, gdzie podstawą jest liczba Eulera (e=2, 7).
Logarytm dziesiętny lg a, gdzie podstawą jest liczba 10.
Logarytm dowolnej liczby b do podstawy a>1.

Każdy z nich jest rozwiązywany w standardowy sposób, łącznie z uproszczeniem, redukcją i późniejszą redukcją do jednego logarytmu przy użyciu twierdzeń logarytmicznych. Aby uzyskać prawidłowe wartości logarytmów, należy pamiętać o ich właściwościach i kolejności czynności przy ich rozwiązywaniu.

Zasady i pewne ograniczenia

W matematyce istnieje kilka reguł-ograniczeń, które są akceptowane jako aksjomaty, to znaczy, że nie podlegają negocjacjom i są prawdziwe. Na przykład niemożliwe jest dzielenie liczb przez zero, a także niemożliwe jest wyciągnięcie równego pierwiastka z liczb ujemnych. Logarytmy mają też swoje własne zasady, dzięki którym łatwo nauczysz się pracować nawet z długimi i pojemnymi wyrażeniami logarytmicznymi:

podstawa "a" musi być zawsze większa od zera i jednocześnie nie być równa 1, w przeciwnym razie wyrażenie straci swoje znaczenie, ponieważ "1" i "0" w dowolnym stopniu są zawsze równe ich wartościom;
jeśli a > 0, to ab>0,okazuje się, że „c” również musi być większe od zera.

Jak rozwiązywać logarytmy?

Na przykład, mając zadanie znalezienia odpowiedzi na równanie 10^x=100. To bardzo proste, musisz wybrać taką potęgę, podnosząc liczbę dziesięć, my zdobądź 100. To oczywiście Cóż, potęga kwadratowa! 10^2=100.

Teraz zaprezentujmy to wyrażenie jako logarytmiczne. Otrzymujemy log_{10100=2. Przy rozwiązywaniu logarytmów wszystkie czynności praktycznie zbiegają się do znalezienia potęgi, do której należy wprowadzić podstawę logarytmu, aby uzyskać daną liczbę.}

Aby dokładnie określić wartość nieznanego stopnia, musisz nauczyć się pracować z tabelą stopni. Wygląda to tak:

Jak widać, niektóre wykładniki można odgadnąć intuicyjnie, jeśli masz techniczne nastawienie i znajomość tabliczki mnożenia. Jednak większe wartości będą wymagały tabeli mocy. Może być używany nawet przez tych, którzy nic nie rozumieją w skomplikowanych zagadnieniach matematycznych. Lewa kolumna zawiera liczby (podstawa a), górny rząd liczb to wartość potęgi c, do której podnoszona jest liczba a. Na przecięciu komórki definiują wartości liczb będących odpowiedzią (ac=b). Weźmy na przykład pierwszą komórkę z liczbą 10 i podnieś ją do kwadratu, otrzymamy wartość 100, która jest wskazana na przecięciu naszych dwóch komórek. Wszystko jest tak proste i łatwe, że nawet najbardziej prawdziwy humanista zrozumie!

Równania i nierówności

Okazuje się, że kiedyW pewnych warunkach wykładnikiem jest logarytm. Dlatego dowolne matematyczne wyrażenia liczbowe można zapisać jako równanie logarytmiczne. Na przykład 3⁴=81 można zapisać jako logarytm z 81 do podstawy 3, czyli cztery (log₃81=4). Dla stopni ujemnych zasady są takie same: 2^-5=1/32 zapisane jako logarytm, otrzymujemy log_{2 (1/32)=-5. Jednym z najbardziej fascynujących działów matematyki jest temat „logarytmów”. Przyjrzymy się przykładom i rozwiązaniom równań nieco niżej, zaraz po zbadaniu ich właściwości. Na razie spójrzmy, jak wyglądają nierówności i jak odróżnić je od równań.}

Podano następujące wyrażenie: log_{2(x-1) > 3 - jest to nierówność logarytmiczna, ponieważ nieznana wartość "x" znajduje się pod znakiem logarytm. Wyrażenie porównuje również dwie wartości: logarytm o podstawie dwa żądanej liczby jest większy niż liczba trzy.}

Najważniejszą różnicą między równaniami logarytmicznymi a nierównościami jest to, że równania z logarytmami (przykład - logarytm₂x=√9) _{implikują w odpowiedzi jedna lub więcej konkretnych wartości liczbowych, natomiast przy rozwiązywaniu nierówności określa się zarówno zakres dopuszczalnych wartości, jak i punkty przerwania tej funkcji. W rezultacie odpowiedź nie jest prostym zbiorem pojedynczych liczb, jak w odpowiedzi z równania, ale ciągłą serią lub zbiorem liczb.}

Podstawowe twierdzenia o logarytmach

Rozwiązując prymitywne zadania w celu znalezienia wartości logarytmu, możesz nie znać jego właściwości. Jeśli jednak chodzi o równania lub nierówności logarytmiczne, to przede wszystkim konieczne jest jasne zrozumienie i zastosowanie w praktyce wszystkich podstawowych własności logarytmów. Z przykładami równań zapoznamy się później, najpierw przeanalizujmy każdą właściwość bardziej szczegółowo.

Podstawowa tożsamość wygląda tak: alogaB=B. Ma zastosowanie tylko wtedy, gdy a jest większe od 0, nie równe jedności, a B jest większe od zera.

Logarytm iloczynu można przedstawić za pomocą następującego wzoru: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{W tym przypadku obowiązkowym warunkiem jest: d, s}1 _{i s}2 _{> 0; a≠1. Możesz podać dowód tego wzoru na logarytmy, z przykładami i rozwiązaniem. Niech log}a_s1 _=f1 _{i log}a_s 2_=f2_{, potem a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Otrzymujemy, że s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(właściwości stopni), a dalej z definicji: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{co miało zostać udowodnione.}

Logarytm ilorazu wygląda następująco: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_as_2.

Twierdzenie w postaci formuły ma następującą postać: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Ta formuła nazywana jest „właściwością stopnia logarytmu”. Przypomina to właściwości zwykłych stopni i nie jest to zaskakujące, ponieważ cała matematyka opiera się na regularnych postulatach. Spójrzmy na dowód.

Let log_ab=t, otrzymujemy a^t=b. Jeśli podniesiesz obie strony do potęgi m: a^tn=b^;

ale ponieważ a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, stąd log}aq _bn=(nt)/t, następnie log^a_q b_n=n/q log^ab. Twierdzenie sprawdzone.

Przykłady problemów i nierówności

Najczęstsze typy problemów logarytmicznych to przykłady równań i nierówności. Znajdują się one w prawie wszystkich podręcznikach problemowych, a także wchodzą w skład obowiązkowej części egzaminów z matematyki. Aby dostać się na uniwersytet lub zdać egzaminy wstępne z matematyki, musisz wiedzieć, jak poprawnie rozwiązywać takie problemy.

Niestety nie ma jednego planu ani schematu rozwiązywania i określania nieznanej wartości logarytmu, ale pewne reguły można zastosować do każdej nierówności matematycznej lub równania logarytmicznego. Przede wszystkim powinieneś dowiedzieć się, czy wyrażenie można uprościć, czy sprowadzić do ogólnej formy. Możesz uprościć długie wyrażenia logarytmiczne, jeśli poprawnie użyjesz ich właściwości. Poznajmy ich wkrótce.

Rozwiązując równania logarytmiczne,konieczne jest ustalenie, jaki logarytm mamy przed sobą: przykładowe wyrażenie może zawierać logarytm naturalny lub dziesiętny.

Oto przykłady logarytmów dziesiętnych: ln100, ln1026. Ich rozwiązanie sprowadza się do tego, że musisz określić stopień, w jakim podstawa 10 będzie równa odpowiednio 100 i 1026. Dla rozwiązań logarytmów naturalnych należy zastosować tożsamości logarytmiczne lub ich własności. Przyjrzyjmy się przykładom rozwiązywania problemów logarytmicznych różnych typów.

Jak używać formuł logarytmicznych: z przykładami i rozwiązaniami

Przyjrzyjmy się więc przykładom użycia głównych twierdzeń o logarytmach.

Właściwość logarytmu iloczynu można wykorzystać w zadaniach, w których konieczne jest rozłożenie dużej wartości liczby b na prostsze czynniki. Na przykład, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Odpowiedź brzmi 9.}

log₄8=dziennik_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - jak widać, stosując czwartą właściwość stopnia logarytmu, udało nam się rozwiązać na pierwszy rzut oka złożone i nierozwiązywalne wyrażenie. Wszystko, co musisz zrobić, to rozłożyć podstawę, a następnie zdjąć moc ze znaku logarytmu.}

przykłady rozwiązań logarytmów naturalnych

Zadania z egzaminu

Logarytmy są często spotykane na egzaminach wstępnych, zwłaszcza wiele problemów logarytmicznych w Unified State Examination (egzamin państwowy dla wszystkich absolwentów szkół). Zazwyczaj te zadania występują nie tylko w części A (najczęściejłatwa część testowa egzaminu), ale także w części C (najtrudniejsze i obszerniejsze zadania). Egzamin wymaga dokładnej i doskonałej znajomości tematu „Logarytmy naturalne”.

Przykłady i rozwiązania problemów pochodzą z oficjalnych wersji egzaminu. Zobaczmy, jak rozwiązywane są takie zadania.

Dane log₂(2x-1)=4. Rozwiązanie:

przepisz wyrażenie, upraszczając je trochę log_2(2x-1)=22^{, z definicji logarytmu otrzymujemy, że 2x-1=2}4^{, stąd 2x=17; x=8, 5.}

Postępując zgodnie z kilkoma wskazówkami, dzięki którym możesz łatwo rozwiązać wszystkie równania zawierające wyrażenia znajdujące się pod znakiem logarytmu.

Najlepiej jest zredukować wszystkie logarytmy do tej samej podstawy, aby rozwiązanie nie było kłopotliwe i mylące.
Wszystkie wyrażenia pod logarytmem są oznaczone jako dodatnie, więc przy mnożeniu wykładnika wyrażenia znajdującego się pod logarytmem i jako jego podstawa, wyrażenie pozostające pod logarytmem musi być dodatnie.