Wielościany nie tylko zajmują poczesne miejsce w geometrii, ale również pojawiają się w codziennym życiu każdego człowieka. Nie wspominając o sztucznie tworzonych przedmiotach gospodarstwa domowego w postaci różnych wielokątów, zaczynając od pudełka zapałek, a kończąc na elementach architektonicznych, kryształach w postaci sześcianu (sól), pryzmie (kryształ), piramidzie (scheelit), oktaedrze (diament), itp. np.
Pojęcie wielościanu, rodzaje wielościanów w geometrii
Geometria jako nauka zawiera sekcję stereometrii, która bada cechy i właściwości figur trójwymiarowych. Ciała geometryczne, których boki w przestrzeni trójwymiarowej tworzą ograniczone płaszczyzny (twarze), nazywane są „wielościanami”. Rodzaje wielościanów obejmują kilkunastu przedstawicieli, różniących się liczbą i kształtem twarzy.
Jednak wszystkie wielościany mają wspólne właściwości:
- Wszystkie mają 3 podstawowe elementy: twarz(powierzchnia wielokąta), wierzchołek (narożniki utworzone na styku ścian), krawędź (bok figury lub segment utworzony na styku dwóch ścian).
- Każda krawędź wielokąta łączy dwie i tylko dwie ściany, które sąsiadują ze sobą.
- Wypukłość oznacza, że ciało znajduje się całkowicie tylko po jednej stronie płaszczyzny, na której leży jedna z twarzy. Reguła dotyczy wszystkich ścian wielościanu. Takie figury geometryczne w stereometrii nazywane są wielościanami wypukłymi. Wyjątkiem są wielościany gwiaździste, które są pochodnymi regularnych wielościanów geometrycznych.
Wielościany można warunkowo podzielić na:
- Rodzaje wielościanów wypukłych, składające się z następujących klas: zwykłe lub klasyczne (pryzmaty, piramidy, równoległościany), regularne (zwane również bryłami platońskimi), półregularne (druga nazwa - bryły Archimedesa).
- Wielościany niewypukłe (w kształcie gwiazdy).
Pryzmat i jego właściwości
Stereometria jako gałąź geometrii bada właściwości trójwymiarowych figur, rodzaje wielościanów (jednym z nich jest pryzmat). Graniastosłup jest ciałem geometrycznym, które z konieczności ma dwie absolutnie identyczne ściany (nazywa się je również podstawami) leżące w równoległych płaszczyznach oraz n-tą liczbę ścian bocznych w postaci równoległoboków. Z kolei pryzmat ma również kilka odmian, w tym takie rodzaje wielościanów jak:
- Równoległobok - utworzony, jeśli podstawą jest równoległobok -wielokąt z 2 parami równych przeciwnych kątów i 2 parami przystających przeciwległych boków.
- Prosty pryzmat ma krawędzie prostopadłe do podstawy.
- Pochylony pryzmat charakteryzuje się obecnością kątów nieprostych (innych niż 90) między ścianami a podstawą.
- Pryzmat foremny charakteryzuje się podstawami w postaci wielokąta foremnego o równych ścianach bocznych.
Podstawowe właściwości pryzmatu:
- Zgodne zasady.
- Wszystkie krawędzie pryzmatu są równe i równoległe do siebie.
- Wszystkie ściany boczne mają kształt równoległoboku.
Piramida
Piramida to bryła geometryczna, która składa się z jednej podstawy i n-tej liczby trójkątnych ścian, połączonych w jednym punkcie - górze. Należy zauważyć, że jeśli ściany boczne piramidy są koniecznie reprezentowane przez trójkąty, to podstawą może być wielokąt trójkątny, czworokąt lub pięciokąt i tak dalej w nieskończoność. W takim przypadku nazwa piramidy będzie odpowiadać wielokątowi u podstawy. Na przykład, jeśli trójkąt leży u podstawy piramidy, jest to piramida trójkątna, czworokąt to czworokąt itd.
Piramidy to wielościany przypominające stożki. Rodzaje wielościanów tej grupy, oprócz wymienionych powyżej, obejmują również następujących przedstawicieli:
- Ostrosłup regularny ma u podstawy wielokąt foremny, a jej wysokość rzutowana jest na środekokrąg wpisany w podstawę lub otoczony wokół niej.
- Prostokątna piramida powstaje, gdy jedna z bocznych krawędzi przecina się z podstawą pod kątem prostym. W tym przypadku słusznie jest również nazwać tę krawędź wysokością piramidy.
Właściwości piramidy:
- Jeżeli wszystkie boczne krawędzie piramidy są przystające (tej samej wysokości), to wszystkie przecinają się z podstawą pod tym samym kątem, a wokół podstawy można narysować okrąg o środku pokrywającym się z rzutem szczyt piramidy.
- Jeżeli podstawa piramidy jest wielokątem foremnym, wtedy wszystkie boczne krawędzie są przystające, a ściany są trójkątami równoramiennymi.
Wielościan regularny: rodzaje i właściwości wielościanów
W stereometrii szczególne miejsce zajmują ciała geometryczne o absolutnie równych ścianach, na których wierzchołkach jest połączona taka sama liczba krawędzi. Te bryły nazywane są bryłami platońskimi lub regularnymi wielościanami. Rodzaje wielościanów o takich właściwościach mają tylko pięć kształtów:
- Czworościan.
- sześcian.
- Oktahedr.
- Dwunastościan.
- Cosahedron.
Regularne wielościany zawdzięczają swoją nazwę starożytnemu greckiemu filozofowi Platonowi, który w swoich pismach opisał te geometryczne ciała i połączył je z naturalnymi elementami: ziemią, wodą, ogniem, powietrzem. Piąta figura została nagrodzona podobieństwem ze strukturą wszechświata. Jego zdaniem atomy pierwiastków naturalnych kształtem przypominają typy wielościanów foremnych. Ze względu na swoją najbardziej ekscytującą właściwość -symetrii, te geometryczne bryły cieszyły się dużym zainteresowaniem nie tylko starożytnych matematyków i filozofów, ale także architektów, artystów i rzeźbiarzy wszystkich czasów. Obecność tylko 5 rodzajów wielościanów o absolutnej symetrii uznano za fundamentalne odkrycie, przyznano im nawet związek z boską zasadą.
Sześcian i jego właściwości
W formie sześciokąta następcy Platona założyli podobieństwo do budowy atomów Ziemi. Oczywiście w chwili obecnej ta hipoteza została całkowicie obalona, co jednak nie przeszkadza postaciom przyciągać umysłów znanych postaci swoją estetyką w czasach współczesnych.
W geometrii sześcian, znany również jako sześcian, jest uważany za szczególny przypadek równoległościanu, który z kolei jest rodzajem pryzmatu. W związku z tym właściwości sześcianu są powiązane z właściwościami pryzmatu, z tą różnicą, że wszystkie ściany i rogi sześcianu są sobie równe. Z tego wynikają następujące właściwości:
- Wszystkie krawędzie sześcianu są przystające i leżą w równoległych płaszczyznach względem siebie.
- Wszystkie twarze są przystającymi kwadratami (w sumie jest ich 6 w sześcianie), z których każda może być traktowana jako podstawa.
- Wszystkie kąty interfejsu to 90.
- Z każdego wierzchołka emanuje taka sama liczba krawędzi, czyli 3.
- Sześcian ma 9 osi symetrii, które przecinają się w punkcie przecięcia przekątnych sześcianu, zwanym środkiem symetrii.
Czworościan
Czworościan to czworościan o równych ścianach w formie trójkątów, których każdy z wierzchołkówjest punktem połączenia trzech ścian.
Właściwości czworościanu foremnego:
- Wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi, co oznacza, że wszystkie ściany czworościanu są przystające.
- Ponieważ podstawa jest reprezentowana przez regularną figurę geometryczną, to znaczy ma równe boki, ściany czworościanu zbiegają się pod tym samym kątem, to znaczy wszystkie kąty są równe.
- Suma płaskich kątów w każdym z wierzchołków wynosi 180, ponieważ wszystkie kąty są równe, to każdy kąt czworościanu foremnego wynosi 60.
- Każdy z wierzchołków jest rzutowany na punkt przecięcia wysokości przeciwnej (ortocentrum) ściany.
Ośmiościan i jego właściwości
Opisując rodzaje wielościanów foremnych, nie można nie zauważyć takiego obiektu jak ośmiościan, który można wizualnie przedstawić jako dwie czworokątne piramidy foremne sklejone ze sobą podstawami.
Właściwości ośmiościanu:
- Sama nazwa geometrycznego ciała sugeruje liczbę jego twarzy. Oktaed składa się z 8 przystających trójkątów równobocznych, w każdym z wierzchołków, których zbiega się taka sama liczba ścian, czyli 4.
- Ponieważ wszystkie ściany ośmiościanu są równe, jego kąty interfejsu są również równe, z których każdy jest równy 60, a suma kątów płaskich każdego z wierzchołków wynosi 240.
Dwunastościan
Jeśli wyobrazimy sobie, że wszystkie twarze geometrycznego ciała są pięciokątem foremnym, to otrzymujemy dwunastościan -figura złożona z 12 wielokątów.
Właściwości dwunastościanu:
- Trzy ściany przecinają się w każdym wierzchołku.
- Wszystkie ściany są równe i mają tę samą długość krawędzi i równą powierzchnię.
- Dwunastościan ma 15 osi i płaszczyzn symetrii, a każda z nich przechodzi przez wierzchołek twarzy i środek przeciwległej krawędzi.
Diagnostyka
Nie mniej interesujący niż dwunastościan, figura dwudziestościanu jest trójwymiarowym geometrycznym ciałem o 20 równych ścianach. Wśród właściwości dwudziestościanu foremnego można wymienić:
- Wszystkie ściany dwudziestościanu są trójkątami równoramiennymi.
- Pięć ścian zbiega się w każdym wierzchołku wielościanu, a suma sąsiednich kątów wierzchołka wynosi 300.
- Dwudziestościan, podobnie jak dwunastościan, ma 15 osi i płaszczyzn symetrii przechodzących przez punkty środkowe przeciwległych ścian.
Półregularne wielokąty
Oprócz brył platońskich, grupa wielościanów wypukłych obejmuje również bryły Archimedesa, które są obciętymi wielościanami foremnymi. Rodzaje wielościanów z tej grupy mają następujące właściwości:
- Ciała geometryczne mają parami równe ściany kilku typów, na przykład czworościan ścięty ma 8 ścian, podobnie jak czworościan foremny, ale w przypadku bryły Archimedesa 4 ściany będą trójkątne, a 4 sześciokątne.
- Wszystkie kąty jednego wierzchołka są przystające.
Wielościany gwiaździste
Reprezentantami nieobjętościowych typów ciał geometrycznych są gwiaździste wielościany, których twarze się przecinają. Mogą być utworzone przez scalenie dwóch regularnych brył 3D lub poprzez wydłużenie ich powierzchni.
Tak więc, takie gwiaździste wielościany są znane jako: gwiaździste formy ośmiościanu, dwunastościanu, dwudziestościanu, prostopadłościanu, dwudziestościanu.
