Równoległość płaszczyzn to koncepcja, która po raz pierwszy pojawiła się w geometrii euklidesowej ponad dwa tysiące lat temu.
Główne cechy klasycznej geometrii
Narodziny tej dyscypliny naukowej związane są ze słynnym dziełem starożytnego greckiego myśliciela Euklidesa, który napisał broszurę „Początki” w III wieku p.n.e. Podzielone na trzynaście ksiąg, Żywioły były najwyższym osiągnięciem całej starożytnej matematyki i przedstawiały podstawowe postulaty związane z właściwościami figur płaskich.
Klasyczny warunek równoległości płaszczyzn został sformułowany w następujący sposób: dwie płaszczyzny można nazwać równoległymi, jeśli nie mają ze sobą punktów wspólnych. Był to piąty postulat euklidesowej pracy.
Właściwości płaszczyzn równoległych
W geometrii euklidesowej jest ich zwykle pięć:
Pierwsza właściwość (opisuje równoległość płaszczyzn i ich niepowtarzalność). Przez jeden punkt, który leży poza daną płaszczyzną, możemy narysować jedną i tylko jedną płaszczyznę równoległą do niej
- Druga właściwość (nazywana również właściwością trzech paraleli). Kiedy dwa samoloty sąrównoległe do trzeciego, są również równoległe do siebie.
Trzecia właściwość (innymi słowy nazywana jest właściwością linii prostej przecinającej równoległość płaszczyzn). Jeśli pojedyncza linia prosta przecina jedną z tych równoległych płaszczyzn, to przetnie ona drugą
Czwarta właściwość (właściwość linii prostych przeciętych na płaszczyznach równoległych do siebie). Kiedy dwie równoległe płaszczyzny przecinają się z trzecią (pod dowolnym kątem), ich linie przecięcia są również równoległe
Piąta właściwość (właściwość opisująca segmenty różnych równoległych linii, które są zamknięte między płaszczyznami równoległymi do siebie). Odcinki tych równoległych linii, które są zamknięte między dwiema równoległymi płaszczyznami, są koniecznie równe
Równoległość płaszczyzn w geometriach nieeuklidesowych
Takie podejścia to w szczególności geometria Łobaczewskiego i Riemanna. Jeśli geometria Euklidesa zrealizowała się na płaskich przestrzeniach, to geometria Łobaczewskiego została zrealizowana w przestrzeniach zakrzywionych ujemnie (po prostu zakrzywionych), a u Riemanna znajduje swoją realizację w przestrzeniach zakrzywionych dodatnio (czyli sferach). Istnieje bardzo powszechna stereotypowa opinia, że równoległe płaszczyzny Łobaczewskiego (a także linie) przecinają się.
Jednak to nie jest poprawne. Rzeczywiście, narodziny geometrii hiperbolicznej były związane z dowodem piątego postulatu Euklidesa i zmianąPoglądy na ten temat jednak sama definicja równoległych płaszczyzn i linii sugeruje, że nie mogą się one przecinać ani u Łobaczewskiego, ani u Riemanna, bez względu na to, w jakich przestrzeniach są realizowane. A zmiana poglądów i sformułowań była następująca. Postulat, że tylko jedna równoległa płaszczyzna może być poprowadzona przez punkt, który nie leży na danej płaszczyźnie, został zastąpiony innym sformułowaniem: przez punkt, który nie leży na danej płaszczyźnie, przynajmniej dwie linie leżą w tej samej płaszczyźnie co podana i nie przecinaj jej.
