Wiele problemów związanych z ruchem w mechanice klasycznej można rozwiązać za pomocą koncepcji pędu cząstki lub całego układu mechanicznego. Przyjrzyjmy się bliżej koncepcji pędu, a także pokażmy, jak zdobytą wiedzę można wykorzystać do rozwiązywania problemów fizycznych.
Główna cecha ruchu
W XVII wieku, badając ruch ciał niebieskich w kosmosie (obrót planet w naszym Układzie Słonecznym), Isaac Newton używał pojęcia pędu. W uczciwy sposób zauważamy, że kilkadziesiąt lat wcześniej Galileo Galilei używał już podobnej cechy opisując ciała w ruchu. Jednak tylko Newton był w stanie zwięźle zintegrować to z opracowaną przez siebie klasyczną teorią ruchu ciał niebieskich.
Wszyscy wiedzą, że jedną z ważnych wielkości charakteryzujących prędkość zmian współrzędnych ciała w przestrzeni jest prędkość. Jeżeli pomnożymy ją przez masę poruszającego się obiektu, to otrzymamy wspomnianą wielkość ruchu, czyli poprawny będzie następujący wzór:
p¯=mv¯
Jak widać, p¯ towielkość wektorowa, której kierunek pokrywa się z kierunkiem prędkości v¯. Jest mierzony w kgm/s.
Fizyczne znaczenie p¯ można zrozumieć na następującym prostym przykładzie: ciężarówka jedzie z tą samą prędkością, a mucha leci, jasne jest, że człowiek nie może zatrzymać ciężarówki, ale mucha może zrobić to bez problemów. Oznacza to, że ilość ruchu jest wprost proporcjonalna nie tylko do prędkości, ale także do masy ciała (w zależności od właściwości bezwładności).
Ruch punktu materialnego lub cząstki
Rozważając wiele problemów związanych z ruchem, rozmiar i kształt poruszającego się obiektu często nie odgrywają znaczącej roli w ich rozwiązaniu. W tym przypadku wprowadza się jedno z najczęstszych przybliżeń - ciało jest uważane za cząstkę lub punkt materialny. Jest to obiekt bezwymiarowy, którego cała masa skupiona jest w centrum ciała. To wygodne przybliżenie jest ważne, gdy wymiary ciała są znacznie mniejsze niż odległości, które pokonuje. Żywym przykładem jest ruch samochodu między miastami, obrót naszej planety po orbicie.
Tak więc stan rozważanej cząstki charakteryzuje się masą i prędkością jej ruchu (zauważ, że prędkość może zależeć od czasu, czyli nie być stała).
Jaki jest pęd cząstki?
Często słowa te oznaczają wielkość ruchu punktu materialnego, czyli wartość p¯. To nie jest do końca poprawne. Przyjrzyjmy się temu zagadnieniu bardziej szczegółowo, w tym celu zapisujemy drugie prawo Izaaka Newtona, które jest już zaliczone w 7 klasie szkoły, mamy:
F¯=ma¯
Wiedząc, że przyspieszenie to tempo zmiany v¯ w czasie, możemy to przepisać w następujący sposób:
F¯=mdv¯/dt=> F¯dt=mdv¯
Jeżeli siła działająca nie zmienia się w czasie, przedział Δt będzie równy:
F¯Δt=mΔv¯=Δp¯
Lewa strona tego równania (F¯Δt) nazywana jest pędem siły, prawa strona (Δp¯) to zmiana pędu. Ponieważ rozważany jest przypadek ruchu punktu materialnego, wyrażenie to można nazwać wzorem na pęd cząstki. Pokazuje, jak bardzo zmieni się jego całkowity pęd w czasie Δt pod działaniem odpowiedniego impulsu siły.
Moment pędu
Po zajęciu się pojęciem pędu cząstki o masie m dla ruchu liniowego, przejdźmy do rozważenia podobnej charakterystyki dla ruchu kołowego. Jeżeli punkt materialny, mający pęd p¯, obraca się wokół osi O w odległości r¯ od niej, to można zapisać następujące wyrażenie:
L¯=r¯p¯
Wyrażenie to reprezentuje moment pędu cząstki, która, podobnie jak p¯, jest wielkością wektorową (L¯ jest skierowane zgodnie z regułą prawej ręki prostopadłą do płaszczyzny zbudowanej na segmentach r¯ i p¯).
Jeżeli pęd p¯ charakteryzuje intensywność przemieszczenia liniowego ciała, to L¯ ma podobne znaczenie fizyczne tylko dla trajektorii kołowej (obrót wokółoś).
Zapisany powyżej wzór na moment pędu cząstki w tej postaci nie służy do rozwiązywania problemów. Poprzez proste przekształcenia matematyczne możesz dojść do następującego wyrażenia:
L¯=Iω¯
Gdzie ω¯ to prędkość kątowa, ja to moment bezwładności. Ten zapis jest podobny do tego dla liniowego pędu cząstki (analogia między ω¯ i v¯ oraz między I i m).
Prawa ochronne dla p¯ i L¯
W trzecim akapicie artykułu wprowadzono pojęcie impulsu siły zewnętrznej. Jeżeli takie siły nie działają na układ (jest on zamknięty i działają w nim tylko siły wewnętrzne), to całkowity pęd cząstek należących do układu pozostaje stały, czyli:
p¯=const
Zauważ, że w wyniku interakcji wewnętrznych każda współrzędna pędu jest zachowywana:
px=const.; py=const.; pz=const
Zazwyczaj to prawo jest używane do rozwiązywania problemów ze zderzeniami sztywnych ciał, takich jak kule. Ważne jest, aby wiedzieć, że niezależnie od charakteru zderzenia (całkowicie sprężyste lub plastyczne), całkowity zakres ruchu zawsze pozostanie taki sam przed i po zderzeniu.
Rysując kompletną analogię z ruchem liniowym punktu, zapisujemy prawo zachowania dla momentu pędu w następujący sposób:
L¯=const. lub I1ω1¯=I2ω2 ¯
Oznacza to, że wszelkie wewnętrzne zmiany momentu bezwładności układu prowadzą do proporcjonalnej zmiany prędkości kątowej jegoobrót.
Być może jednym z powszechnych zjawisk, które demonstruje to prawo, jest rotacja łyżwiarza na lodzie, kiedy grupuje swoje ciało na różne sposoby, zmieniając swoją prędkość kątową.
Problem kolizji dwóch lepkich kulek
Rozważmy przykład rozwiązania problemu zachowania liniowego pędu cząstek poruszających się do siebie. Niech te cząstki będą kulkami o lepkiej powierzchni (w tym przypadku kulkę można uznać za punkt materialny, ponieważ jej wymiary nie wpływają na rozwiązanie problemu). Czyli jedna kulka porusza się w dodatnim kierunku osi X z prędkością 5 m/s, ma masę 3 kg. Druga kula porusza się w kierunku ujemnym osi X, jej prędkość i masa wynoszą odpowiednio 2 m/s i 5 kg. Konieczne jest określenie, w jakim kierunku i z jaką prędkością system będzie się poruszał po zderzeniu i sklejeniu się kulek.
Pręd układu przed zderzeniem jest określony przez różnicę pędów dla każdej kuli (różnica jest brana pod uwagę, ponieważ ciała są skierowane w różnych kierunkach). Po zderzeniu pęd p¯ jest wyrażany tylko przez jedną cząstkę, której masa jest równa m1 + m2. Ponieważ kulki poruszają się tylko wzdłuż osi X, mamy wyrażenie:
m1v1 - m2v 2=(m1+m2)u
Gdzie nieznana prędkość pochodzi ze wzoru:
u=(m1v1 -m2v2)/(m1+m2)
Podstawiając dane z warunku otrzymujemy odpowiedź: u=0,625 m/s. Dodatnia wartość prędkości wskazuje, że system po zderzeniu będzie poruszał się w kierunku osi X, a nie przeciwnie.
