W tym artykule wyjaśnimy w prosty sposób formułę Blacka-Scholesa. Model Blacka-Scholesa to matematyczny model dynamiki rynku finansowego zawierający pochodne instrumenty inwestycyjne.
Z równania różniczkowego cząstkowego w modelu (znanego jako równanie Blacka-Scholesa) można wyprowadzić wzór Blacka-Scholesa. Daje teoretyczną cenę opcji w stylu europejskim i pokazuje, że opcja ma unikalną cenę niezależnie od ryzyka papieru wartościowego i jego oczekiwanego zwrotu (zamiast zastępować oczekiwany zwrot z papieru wartością neutralną pod względem ryzyka).
Ta formuła doprowadziła do boomu w handlu opcjami i dała matematyczną legitymację Chicago Board Options Exchange oraz innym rynkom opcji na całym świecie. Jest szeroko stosowany, choć często z korektami i korektami, przez uczestników rynku opcji. Na zdjęciach w tym artykule możesz zobaczyć przykłady formuły Blacka-Scholesa.
Historia i istota
Na podstawie prac opracowanych wcześniej przez naukowców i praktykówRynki takie jak Louis Bachelier, Sheen Kassouf i Ed Thorpe, Fisher Black i Myron Scholes pod koniec lat 60. wykazały, że dynamiczna rewizja portfela wyeliminowała oczekiwany zwrot bezpieczeństwa.
W 1970 roku, po tym, jak próbowali zastosować formułę na rynkach i ponieśli straty finansowe z powodu braku zarządzania ryzykiem w swoich zawodach, postanowili skupić się na swojej dziedzinie, akademii. Po trzech latach starań formuła, nazwana tak od ich promulgacji, została ostatecznie opublikowana w 1973 r. w artykule „Opcje cenowe i obligacje korporacyjne” w „Journal of Political Economy”. Robert S. Merton jako pierwszy opublikował artykuł rozszerzający matematyczne rozumienie modelu wyceny opcji i ukuł termin „model wyceny Blacka-Scholesa”.
Za swoją pracę Merton i Scholes otrzymali w 1997 r. Nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii, powołując się na ich odkrycie dynamicznej zmiany niezależnej od ryzyka jako przełomu, który oddziela opcję od podstawowego zagrożenia bezpieczeństwa. Chociaż nie otrzymał nagrody z powodu swojej śmierci w 1995 roku, Black został wymieniony przez szwedzkiego naukowca jako uczestnik. Na poniższym obrazku widać typową formułę Blacka-Scholesa.
Opcje
Główną ideą tego modelu jest zabezpieczenie opcji poprzez odpowiedni zakup i sprzedaż aktywów bazowych, a w rezultacie eliminację ryzyka. Ten rodzaj zabezpieczenia nazywany jest „stale aktualizowanym hedgingiem delta”. Onjest podstawą bardziej złożonych strategii, takich jak te stosowane przez banki inwestycyjne i fundusze hedgingowe.
Zarządzanie ryzykiem
Założenia modelu zostały złagodzone i uogólnione w wielu kierunkach, co zaowocowało różnymi modelami stosowanymi obecnie w wycenie instrumentów pochodnych i zarządzaniu ryzykiem. To właśnie rozumienie modelu, pokazane w formule Blacka-Scholesa, jest często stosowane przez uczestników rynku, w przeciwieństwie do rzeczywistych cen. Te szczegóły obejmują brak limitów arbitrażowych i neutralną dla ryzyka wycenę (ze względu na stały przegląd). Ponadto równanie Blacka-Scholesa, równanie różniczkowe cząstkowe, które określa cenę opcji, umożliwia liczbowe wyznaczanie cen, gdy nie jest możliwa jednoznaczna formuła.
Zmienność
Formuła Blacka-Scholesa ma tylko jeden parametr, którego nie można bezpośrednio zaobserwować na rynku: średnią przyszłą zmienność aktywów bazowych, chociaż można ją znaleźć po cenie innych opcji. Gdy wartość parametru (niezależnie od tego, czy opcja put, czy call) wzrasta w tym parametrze, można ją odwrócić, aby wytworzyć „powierzchnię zmienności”, która jest następnie wykorzystywana do kalibracji innych formacji, takich jak instrumenty pochodne OTC.
Mając na uwadze te założenia, załóżmy, że na tym rynku handluje się również instrumentami pochodnymi. Wskazujemy, że zabezpieczenie to będzie miało określoną wypłatę w określonym terminie w przyszłości, w zależności od wartości przyjętej przez udział.przed tą datą. Co zaskakujące, cena instrumentu pochodnego jest teraz całkowicie określona, chociaż nie wiemy, jaką ścieżkę podąży cena akcji w przyszłości.
W szczególnym przypadku europejskiej opcji kupna lub sprzedaży, Black i Scholes wykazali, że możliwe jest stworzenie pozycji zabezpieczającej składającej się z długiej pozycji w akcjach i krótkiej pozycji w opcji, której wartość nie zależy od ceny akcji. Ich dynamiczna strategia hedgingowa zaowocowała równaniem różniczkowym cząstkowym, które określało cenę opcji. Jego rozwiązanie podaje wzór Blacka-Scholesa.
Różnica terminów
Formułę Blacka-Scholesa dla programu Excel można zinterpretować, najpierw dzieląc opcję kupna na różnicę dwóch opcji binarnych. Opcja kupna polega na wymianie gotówki na aktywa w momencie wygaśnięcia, podczas gdy aktywa typu call z aktywami lub bez nich po prostu dają aktywa (brak gotówki w zamian), a bezgotówkowe wezwanie po prostu zwraca pieniądze (bez wymiany aktywów)). Formuła Blacka-Scholesa dla opcji jest różnicą dwóch warunków, a te dwa warunki są równe wartości binarnych opcji call. Te opcje binarne handlują znacznie rzadziej niż opcje waniliowe, ale są łatwiejsze do analizy.
W praktyce niektóre wartości czułości są zwykle skracane, aby pasowały do skali prawdopodobnych zmian parametrów. Na przykład często podaje się rho podzielone przez 10000 (zmiana o 1 punkt bazowy), vega przez 100 (zmiana o 1 punkt objętościowy) i theta przez 365.lub 252 (1-dniowa wypłata w oparciu o dni kalendarzowe lub dni handlowe w roku).
Powyższy model można rozszerzyć o zmienne (ale deterministyczne) stopy i zmienność. Model może być również wykorzystany do wyceny opcji europejskich na instrumenty wypłaty dywidendy. W takim przypadku dostępne są rozwiązania w formie zamkniętej, jeśli dywidenda stanowi znaną część ceny akcji. Opcje amerykańskie i na akcje, które wypłacają znaną dywidendę pieniężną (bardziej realistyczną niż dywidenda proporcjonalna w krótkim okresie) są trudniejsze do wyceny i dostępny jest wybór metod rozwiązania (np. kraty i siatki).
Podejście
Przydatne przybliżenie: chociaż zmienność nie jest stała, wyniki modelu często pomagają ustawić hedging we właściwych proporcjach, aby zminimalizować ryzyko. Nawet jeśli wyniki nie są w pełni dokładne, służą jako pierwsze przybliżenie, do którego można dokonać korekty.
Podstawy lepszych modeli: Model Blacka-Scholesa jest solidny w tym sensie, że można go dostosować, aby poradzić sobie z niektórymi niepowodzeniami. Zamiast traktować niektóre parametry (takie jak zmienność lub stopy procentowe) jako stałe, traktujemy je jako zmienne i w ten sposób dodajemy źródła ryzyka.
Jest to odzwierciedlone w Grekach (zmiana wartości opcji w celu zmiany tych parametrów lub odpowiednika pochodnych cząstkowych w odniesieniu do tych zmiennych) i hedging tych Grekówzmniejsza ryzyko spowodowane zmiennym charakterem tych parametrów. Jednak innych wad nie można wyeliminować poprzez zmianę modelu, w szczególności ryzyko ogona i ryzyko płynności, a zamiast tego zarządza się nimi poza modelem, głównie poprzez minimalizację tych ryzyk i testy warunków skrajnych.
Wyraźne modelowanie
Modelowanie jawne: Ta funkcja oznacza, że zamiast zakładać zmienność a priori i obliczać na jej podstawie ceny, możesz użyć modelu do określenia zmienności, który daje implikowaną zmienność opcji przy danych cenach, czasach i cenach wykonania. Rozwiązując zmienność dla danego zestawu czasów realizacji i cen, można zbudować implikowaną powierzchnię zmienności.
W tym zastosowaniu modelu Blacka-Scholesa uzyskuje się przekształcenie współrzędnych z obszaru ceny do obszaru zmienności. Zamiast kwotowania cen opcji w dolarach na jednostkę (które trudno porównać na podstawie wykonania, czasu trwania i częstotliwości kuponów), ceny opcji można kwotować w kategoriach zmienności implikowanej, co prowadzi do obrotu zmiennością na rynkach opcji.
