Często w życiu stajemy przed koniecznością oceny szans wystąpienia zdarzenia. Czy warto kupić los na loterię czy nie, jaka będzie płeć trzeciego dziecka w rodzinie, czy jutro pogoda będzie pogodna, czy znowu będzie padać – takich przykładów jest niezliczona ilość. W najprostszym przypadku liczbę korzystnych wyników należy podzielić przez całkowitą liczbę zdarzeń. Jeśli w loterii jest 10 zwycięskich kuponów, a w sumie jest ich 50, to szanse na zdobycie nagrody wynoszą 10/50=0,2, czyli 20 na 100. Ale co, jeśli jest kilka wydarzeń i są one blisko siebie związane z? W tym przypadku nie będziemy już interesować się prawdopodobieństwem prostym, ale warunkowym. Czym jest ta wartość i jak można ją obliczyć - zostanie to omówione w naszym artykule.
Koncepcja
Prawdopodobieństwo warunkowe to prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia, biorąc pod uwagę, że inne powiązane zdarzenie już miało miejsce. Rozważ prosty przykład zrzucanie monetą. Jeśli nie było jeszcze remisu, szanse na remis będą takie same. Ale jeśli pięć razy z rzędu moneta leżała z herbem do góry, to zgódź się oczekiwać 6., 7., a nawet bardziej 10. powtórzenie takiego wyniku byłoby nielogiczne. Z każdym powtarzającym się kursem szanse na pojawienie się ogonów rosną i prędzej czy później znikną.
Formuła warunkowego prawdopodobieństwa
Zastanówmy się teraz, jak obliczana jest ta wartość. Oznaczmy pierwsze zdarzenie jako B, a drugie jako A. Jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia B jest różne od zera, to obowiązuje następująca równość:
P (A|B)=P (AB) / P (B), gdzie:
- P (A|B) – warunkowe prawdopodobieństwo wyniku A;
- P (AB) - prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia zdarzeń A i B;
- P (B) – prawdopodobieństwo zdarzenia B.
Nieznacznie przekształcając ten stosunek, otrzymujemy P (AB)=P (A|B)P (B). A jeśli zastosujemy metodę indukcji, to możemy wyprowadzić wzór na iloczyn i użyć go dla dowolnej liczby zdarzeń:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
Praktyka
Aby ułatwić zrozumienie sposobu obliczania prawdopodobieństwa warunkowego zdarzenia, spójrzmy na kilka przykładów. Załóżmy, że jest wazon zawierający 8 czekoladek i 7 miętówek. Są tego samego rozmiaru i losowe.dwa z nich są kolejno wyciągane. Jakie są szanse, że oboje będą czekoladą? Wprowadźmy notację. Niech wynik A oznacza, że pierwszy cukierek to czekolada, a wynik B to drugi cukierek czekoladowy. Następnie otrzymasz następujące informacje:
P (A)=P (B)=8/15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Rozważmy jeszcze jeden przypadek. Załóżmy, że istnieje rodzina składająca się z dwójki dzieci i wiemy, że przynajmniej jedno dziecko to dziewczynka.
Jakie jest warunkowe prawdopodobieństwo, że ci rodzice nie mają jeszcze chłopców? Podobnie jak w poprzednim przypadku zaczynamy od notacji. Niech P(B) będzie prawdopodobieństwem, że w rodzinie jest co najmniej jedna dziewczynka, P(A|B) będzie prawdopodobieństwem, że drugie dziecko też jest dziewczynką, P(AB) będzie prawdopodobieństwem, że w rodzinie są dwie dziewczynki rodzina. Teraz zróbmy obliczenia. W sumie mogą być 4 różne kombinacje płci dzieci i w tym przypadku tylko w jednym przypadku (gdy w rodzinie jest dwóch chłopców) wśród dzieci nie będzie dziewczynki. Dlatego prawdopodobieństwo P (B)=3/4, a P (AB)=1/4. Następnie zgodnie z naszym wzorem otrzymujemy:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Wynik można interpretować w następujący sposób: gdybyśmy nie znali płci jednego z dzieci, wtedy szanse dwóch dziewczynek byłyby 25 na 100. Ale ponieważ wiemy, że jedno dziecko jest dziewczynką, prawdopodobieństwo, że rodzina chłopców nie, wzrasta do jednej trzeciej.
