Mówiąc prosto i zwięźle, zakres to wartości, które może przyjąć każda funkcja. Aby w pełni poznać ten temat, musisz stopniowo demontować następujące punkty i koncepcje. Najpierw zrozummy definicję funkcji i historię jej pojawienia się.
Co to jest funkcja
Wszystkie nauki ścisłe dostarczają nam wielu przykładów, w których omawiane zmienne w jakiś sposób zależą od siebie. Na przykład gęstość substancji jest całkowicie określona przez jej masę i objętość. Ciśnienie gazu doskonałego o stałej objętości zmienia się wraz z temperaturą. Te przykłady łączy fakt, że wszystkie formuły mają zależności między zmiennymi, które nazywane są funkcjonalnymi.
Funkcja to pojęcie, które wyraża zależność jednej wielkości od drugiej. Ma postać y=f(x), gdzie y jest wartością funkcji, która zależy od x - argumentu. Możemy więc powiedzieć, że y jest zmienną zależną od wartości x. Wartości, które x może przyjąć razem, todziedzina danej funkcji (D(y) lub D(f)), a zatem wartości y stanowią zbiór wartości funkcji (E(f) lub E(y)). Zdarzają się przypadki, gdy funkcja jest podana przez jakąś formułę. W tym przypadku domeną definicji jest wartość takich zmiennych, w których zapis ze wzorem ma sens.
Istnieją pasujące lub równe funkcje. Są to dwie funkcje, które mają równe zakresy prawidłowych wartości, a także wartości samej funkcji są równe dla wszystkich tych samych argumentów.
Wiele praw nauk ścisłych nazywa się podobnie do sytuacji w prawdziwym życiu. Jest też taki ciekawy fakt dotyczący funkcji matematycznej. Istnieje twierdzenie o granicy funkcji „przełożonej” między dwiema innymi, które mają tę samą granicę – o dwóch policjantach. Tłumaczą to w ten sposób: ponieważ dwóch policjantów prowadzi więźnia do celi między nimi, przestępca jest zmuszony tam iść i po prostu nie ma wyboru.
Odniesienie do funkcji historycznych
Koncepcja funkcji nie od razu stała się ostateczna i precyzyjna, przeszła długą drogę stawania się. Po pierwsze, Wprowadzenie i studium płaszczyzny i stałych miejsc Fermata, opublikowane pod koniec XVII wieku, stwierdza, co następuje:
Kiedy w ostatecznym równaniu występują dwie niewiadome, jest miejsce.
Ogólnie rzecz biorąc, ta praca mówi o zależności funkcjonalnej i jej materialnym obrazie (miejsce=linia).
Również, mniej więcej w tym samym czasie, Kartezjusz studiował proste za pomocą ich równań w swojej pracy „Geometria” (1637), gdzie ponownie faktzależność dwóch wielkości od siebie.
Sama wzmianka o terminie „funkcja” pojawiła się dopiero pod koniec XVII wieku u Leibniza, ale nie we współczesnej interpretacji. W swojej pracy naukowej uważał, że funkcją są różne odcinki związane z linią krzywą.
Ale już w XVIII wieku zaczęto dokładniej definiować funkcję. Bernoulli napisał co następuje:
Funkcja jest wartością składającą się ze zmiennej i stałej.
Myśli Eulera również były zbliżone do tego:
Funkcja zmiennej ilości jest wyrażeniem analitycznym składającym się w pewien sposób z tej zmiennej ilości i liczb lub wielkości stałych.
Kiedy niektóre wielkości zależą od innych w taki sposób, że gdy te drugie się zmieniają, to same się zmieniają, wtedy te pierwsze nazywane są funkcjami tych drugich.
Wykres funkcji
Wykres funkcji składa się ze wszystkich punktów należących do osi płaszczyzny współrzędnych, których odcięte przyjmują wartości argumentu, a wartości funkcji w tych punktach są rzędnymi.
Zasięg funkcji jest bezpośrednio związany z jej wykresem, ponieważ jeśli jakiekolwiek odcięte są wykluczone przez zakres poprawnych wartości, wówczas musisz narysować puste punkty na wykresie lub narysować wykres w określonych granicach. Np. jeśli przyjmiemy wykres postaci y=tgx, to wartość x=pi / 2 + pin, n∉R jest wykluczona z obszaru definicji, w przypadku grafu stycznego trzeba narysowaćpionowe linie równoległe do osi y (tzw. asymptoty) przechodzące przez punkty ±pi/2.
Każde dokładne i dokładne badanie funkcji stanowi dużą gałąź matematyki zwaną rachunkiem różniczkowym. W elementarnej matematyce poruszane są również podstawowe pytania dotyczące funkcji, na przykład budowanie prostego wykresu i ustalanie podstawowych właściwości funkcji.
Jaką funkcję można ustawić
Funkcja może:
- być formułą, na przykład: y=cos x;
- ustawiane przez dowolną tabelę par postaci (x; y);
- od razu mieć widok graficzny, w tym celu pary z poprzedniego elementu formularza (x; y) muszą być wyświetlane na osiach współrzędnych.
Bądź ostrożny podczas rozwiązywania niektórych problemów wysokiego poziomu, prawie każde wyrażenie może być traktowane jako funkcja w odniesieniu do jakiegoś argumentu wartości funkcji y(x). Znalezienie dziedziny definicji w takich zadaniach może być kluczem do rozwiązania.
Jaki jest zakres?
Pierwszą rzeczą, którą musisz wiedzieć o funkcji, aby ją zbadać lub zbudować, jest jej zakres. Wykres powinien zawierać tylko te punkty, w których funkcja może istnieć. Domena definicji (x) może być również określana jako domena wartości dopuszczalnych (w skrócie ODZ).
Aby poprawnie i szybko zbudować wykres funkcji, musisz znać dziedzinę tej funkcji, ponieważ od tego zależy wygląd wykresu i jego wiernośćbudowa. Na przykład, aby skonstruować funkcję y=√x, musisz wiedzieć, że x może przyjmować tylko wartości dodatnie. Dlatego jest zbudowany tylko w pierwszym kwadrancie współrzędnych.
Zakres definicji na przykładzie funkcji elementarnych
W swoim arsenale matematyka ma niewielką liczbę prostych, zdefiniowanych funkcji. Mają ograniczony zakres. Rozwiązanie tego problemu nie sprawi trudności, nawet jeśli masz przed sobą tak zwaną złożoną funkcję. To tylko połączenie kilku prostych.
- Więc funkcja może być ułamkowa, na przykład: f(x)=1/x. Zatem zmienna (nasz argument) jest w mianowniku i każdy wie, że mianownik ułamka nie może być równy 0, dlatego argument może przyjąć dowolną wartość poza 0. Notacja będzie wyglądać tak: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Jeśli w mianowniku jest jakieś wyrażenie ze zmienną, musisz rozwiązać równanie dla x i wykluczyć wartości, które zmieniają mianownik na 0. Aby uzyskać schematyczne przedstawienie, wystarczy 5 dobrze dobranych punktów. Wykres tej funkcji będzie hiperbolą z pionową asymptotą przechodzącą przez punkt (0; 0) i łącznie osi Ox i Oy. Jeśli obraz graficzny przecina się z asymptotami, wówczas taki błąd zostanie uznany za najbardziej rażący.
- Ale jaka jest domena katalogu głównego? Dziedzina funkcji o wyrażeniu radykalnym (f(x)=√(2x + 5)), zawierająca zmienną, również ma swoje niuanse (dotyczy tylko pierwiastka parzystego stopnia). Jakpierwiastek arytmetyczny jest wyrażeniem dodatnim lub równym 0, to wyrażenie pierwiastka musi być większe lub równe 0, rozwiązujemy następującą nierówność: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, zatem dziedzina tego funkcja: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Wykres jest jednym z odgałęzień paraboli, obróconych o 90 stopni, znajdujących się w pierwszej ćwiartce współrzędnych.
- Jeżeli mamy do czynienia z funkcją logarytmiczną, to należy pamiętać, że istnieje ograniczenie dotyczące podstawy logarytmu i wyrażenia pod znakiem logarytmu, w tym przypadku można znaleźć dziedzinę definicji jako następuje. Mamy funkcję: y=loga(x + 7), rozwiązujemy nierówność: x + 7 > 0, x > -7. Wtedy dziedziną tej funkcji jest D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Zwróć także uwagę na funkcje trygonometryczne postaci y=tgx i y=ctgx, ponieważ y=tgx=sinx/cos/x i y=ctgx=cosx/sinx, dlatego musisz wykluczyć wartości w którym mianownik może być równy zero. Jeśli znasz wykresy funkcji trygonometrycznych, zrozumienie ich dziedziny jest prostym zadaniem.
Jak działa z różnymi funkcjami złożonymi
Pamiętaj kilka podstawowych zasad. Jeśli pracujemy ze złożoną funkcją, to nie ma potrzeby czegoś rozwiązywać, upraszczać, dodawać ułamków, zmniejszać do najniższego wspólnego mianownika i wyciągać pierwiastków. Musimy zbadać tę funkcję, ponieważ różne (nawet identyczne) operacje mogą zmienić zakres funkcji, powodując niepoprawną odpowiedź.
Na przykład mamy złożoną funkcję: y=(x2 - 4)/(x - 2). Nie możemy zredukować licznika i mianownika ułamka, ponieważ jest to możliwe tylko wtedy, gdy x ≠ 2, a to jest zadanie znalezienia dziedziny funkcji, więc nie rozkładamy licznika na czynniki i nie rozwiązujemy żadnych nierówności, ponieważ wartość, przy której funkcja nie istnieje, widoczna gołym okiem. W tym przypadku x nie może przyjąć wartości 2, ponieważ mianownik nie może iść do 0, zapis będzie wyglądał następująco: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Funkcje wzajemne
Na początek warto powiedzieć, że funkcja może stać się odwracalna tylko w przedziale wzrostu lub spadku. Aby znaleźć funkcję odwrotną, musisz zamienić x i y w notacji i rozwiązać równanie dla x. Domeny definicji i domeny wartości są po prostu odwrócone.
Głównym warunkiem odwracalności jest monotoniczny interwał funkcji, jeśli funkcja ma interwały wzrostu i spadku, to można skomponować funkcję odwrotną dowolnego interwału (rosnącego lub malejącego).
Na przykład dla funkcji wykładniczej y=exodwrotnością jest funkcja logarytmiczna naturalnego y=logea=lna. W przypadku trygonometrii będą to funkcje z przedrostkiem arc-: y=sinx i y=arcsinx i tak dalej. Wykresy zostaną umieszczone symetrycznie względem niektórych osi lub asymptot.
Wnioski
Wyszukiwanie zakresu dopuszczalnych wartości sprowadza się do zbadania wykresu funkcji (jeśli taki istnieje),rejestrowanie i rozwiązywanie niezbędnego specyficznego systemu nierówności.
Tak więc ten artykuł pomógł ci zrozumieć, do czego służy zakres funkcji i jak ją znaleźć. Mamy nadzieję, że pomoże Ci to dobrze zrozumieć podstawowy kurs szkolny.
